גיאומטריה וקטורית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | קו-קוויים |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | ווקטור מיקום |
| parallel/ˈpærəlel/ | מקביל |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | אמצע |
הוכחת נקודות קויות
- איך מוכיחים ששלוש נקודות קויות (נמצאות על אותו ישר)?
- הראו שהווקטור מהנקודה הראשונה לשנייה הוא כפולה סקלרית של הווקטור מהנקודה השנייה לשלישית.
וקטורי מיקום ו$\overrightarrow{AB}$
- הווקטור המיקום של נקודה הוא הווקטור מהראשית $O$ אליה.
- הווקטור מ$A$ ל$B$:
אם $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ו$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, אזי $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
גיאומטריה וקטורית
הכוח השקול = a + b
שלבבו וקטורים כדי להגיע לנקודה — ה-ווקטור הסיכומי הוא הדרך הישירה.
אם a ו-b הם וקטורי המיקום של A ו-B, אז הווקטור AB הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
AB = (מיקום B) − (מיקום A) = b − a.
A יש וקטור מיקום (1, 3) ו-B יש וקטור מיקום (4, 7). מהו רכיב העליון של AB?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
AB = b − a: עליון = 4 − 1 = 3.
וקטורים מקבילים ונקודות קויות
- שני וקטורים הם מקבילים אם אחד הוא כפולה סקלרית של השני: $\mathbf{p} = k\mathbf{q}$.
- שלוש נקודות $A, B, C$ הן קויות אם $\overrightarrow{AB}$ ו$\overrightarrow{BC}$ הם מקבילים וגם משתפים בנקודה $B$.
מקביליות לבדה לא מספיקה. שני וקטורים יכולים להיות מקבילים מבלי שהנקודות יהיו קויות — הן עשויות להיות על ישרים מקבילים נפרדים. צריך גם נקודה משותפת.
שני וקטורים מקבילים אם אחד הוא כפולה סקלרית של השני.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
וקטורים מקבילים מצביעים באותה כיוון (או הפוך), ולכן אחד הוא k פעמים השני.
כדי להוכיח ששלוש נקודות נמצאות על אותו ישר, יש להראות שהווקטורים ביניהן הם ______ ושיתופי נקודה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נקודות קולינאריות יש להן וקטורים מקבילים ביניהן AND נקודה משותפת.
אמצע קטע
- $M$ הוא אמצע $AB$, כאשר $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ ו$\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$.
- וקטור המיקום של האמצע הוא הממוצע של שני הקצוות.
גודל של וקטור עמודתי נמצא באמצעות פיתגורס
M היא אמצע AB. וקטור המיקום OM הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
OM = a + ½(b − a) = ½(a + b).
A = (2, 4) ו-B = (8, 10). מהו הקואורדינטה x של אמצע M?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½(2 + 8) = 5.
מדוע וקטורים חשובים
- משחקי מחשב, מנועי פיזיקה ומערכי GPS כולם משתמשים במתמטיקה וקטורית מעקב אחר מיקומים ותנועות.
וקטורי מיקום ממוקמים נקודות על הרשת — הבסיס להוכחת קווריות ולמציאת אמצעים.
הוכחה מלאה בווקטורים
- אם $\overrightarrow{OA}=\mathbf a$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$, ו-M היא אמצע AB, אז $\overrightarrow{OM}=(\mathbf a+\mathbf b)/2$.
- מגדירים C לפי $\overrightarrow{OC}=2\mathbf b-\mathbf a$. אז $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\mathbf b-\mathbf a=\overrightarrow{AB}$. וקטורים שווים מחלקים בכיוון ונפגשים ב-B, ולכן A, B, C נמצאים בקו אחד ו-B היא אמצע AC (עבור A ו-B שונים).
A = (1,3), B = (4,7) ו-OC = 2OB − OA. מצא את הקואורדינטה ה-x של C.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C = (8,14) − (1,3) = (7,11).
הבנתך מושלמת
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (סוף פחות התחלה)
- וקטורים מקבילים הם כפולים סקלריים; כך מראים שנקודות הן קווריות
- אמצע של $AB$: $\;\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$