פיthagoras וטריגונומטריה במרחב 3D
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| space diagonal/speɪs daɪˈæɡənl/ | אלכסון מרחבי |
| base diagonal/beɪs daɪˈæɡənl/ | אלכסון בסיס |
האלכסון דרך חדר
- כמה זמן הוא הקו הארוך ביותר שיכנס לתוך קופסה? זהו ה-אלכסון החללי — עובר מקודקוד אחד לנקודה הרחוקה ביותר המולו.
- 3D פיתגורס וטריגונומטריה ממירים זאת למשולש שטוח נסתר בתוך הגוף.
האסטרטגיה: מציאת משולש בתוך הגוף
- כל בעיית 3D הופכת לבעיית 2D: מזהים משולש ישר זווית בתוך הגוף, ואז משתמשים בפיתגורס או בטריגונומטריה עליו.
- לעיתים מוצאים תחילה אלכסון בסיס, ואז מביאים את הגובה ליצירת משולש שני.
משפט פיתגורס
במשולש ישר זווית, a² + b² = c². רעיון זה, כאשר מיושם פעמיים, נותן אורכים בתוך גופים תלת-ממדיים 3.
לקופסה יש בסיס בגודל 6 ס"מ על 8 ס"מ. מצא את אורך אלכסון הבסיס (ס"מ).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(6² + 8²) = √100 = 10 ס"מ.
בבעיה ב-3D מחפשים משולש ישר זווית בתוך הגוף כדי לעבוד איתו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השיטה כולה ב-3D היא להפוך אותה למשולש ישר זווית שטוח.
בבעיות ב-3D לעיתים מוצאים תחילה את האלכסון ______, ואז משתמשים בו יחד עם הגובה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אלכסון הבסיס (שהתקבל באמצעות פיתגורס ב-2D) הופך לצד אחד במשולש ישר זווית שני יחד עם הגובה.
דוגמה מפורשת — אלכסון קופסה
- לקופסה יש בסיס $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$ וגובה $5\text{ cm}$.
- שלב 1 — אלכסון הבסיס: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- שלב 2 — אלכסון חללי: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.
לקופסה יש מידות 6, 8 ו-5 ס"מ. האלכסון החללי הוא √(6² + 8² + 5²). מצא אותו (ל-1 ספרה אחרי הנקודה).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(36 + 64 + 25) = √125 ≈ 11.2 ס"מ.
לקובייה יש צלע של 3 ס"מ. האלכסון החללי שלה הוא √(3² + 3² + 3²) = √27. מצא אותו (ל-2 ספרות אחרי הנקודה).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√27 = 3√3 ≈ 5.20 ס"מ.
דוגמה מפורשת — זווית כלפי הבסיס
- אלכסון הבסיס ($10$) והגובה ($5$) יוצרים משולש ישר-זווית.
- $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$, ולכן $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.
קיצור פיתגורס ב-3D. האלכסון החללי של קופסת $l \times w \times h$ הוא $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. עבור הקופסה שלנו: $\sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 11.2$ ס"מ.
שני שלבים, לא אחד. כדי לחשב את הזווית, צריך גם את אלכסון הבסיס וגם את הגובה כדי ליצור את המשולש השני. שימוש באלכסון החל כצד נותן את הזווית הלא נכונה.
אלכסון הבסיס הוא 10 ס"מ וגובה הקופסה הוא 5 ס"מ. הזווית לבסיס היא tan θ = 5/10. מצא את θ (מעלות, ל-1 ספרה אחרי הנקודה).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
θ = tan⁻¹(0.5) = 26.6°.
כאשר טריגונומטריה מופיעה ב-3D
- ארכיטקטורה: זווית קורת גג, אלכסון של חדר.
- הנדסה: אורך קורת תמיכה, זווית זרוע מנוף.
פיתגורס ב-3D הוא פשוט פיתגורס ב-2D שמיושם פעמיים — תחילה על הבסיס, ולאחר מכן עם הגובה.
הבנתך מושלמת
- ב-3D, מזהים משולש ישר זווית בתוך הגוף, ואז משתמשים בפיתגורס/טריגונומטריה
- לעיתים מוצאים תחילה אלכסון בסיס, ואז מביאים את הגובה
- קופסת $6 \times 8 \times 5$: אלכסון בסיס $10$, אלכסון מרחבי $\sqrt{125} \approx 11.2$, זווית $26.6^{\circ}$