חוק הסינוס וחוק הקוסינוס

כשהמשולש אינו ישר זווית

• פיתגורס ו-SOH-CAH-TOA עובדים רק עבור משולשים ישרי זווית.
• לכל משולש אחר, תצטרכו את חוק הסינוס או את חוק הקוסינוס.

חוק הסינוס

• לכל משולש עם צלעות $a, b, c$ מול זוויות $A, B, C$:

• השתמש בו כשאתה יודע: צלע וזווית הנגד לה, בנוסף לנתון נוסף אחד.

$y=\sin x$ ו-$y=\cos x$ הן גלי חלקים בין $-1$ ל-$1$; קוסינוס הוא סינוז מוזז שמאלה ב-$90^\circ$

חוק הקוסינוסים

• השתמש בו כשאתה יודע: שתי צלעות והזווית הכלולה ביניהן (כדי למצוא את הצלע השלישית), או שלוש הצלעות (כדי למצוא זווית).

בכל משולש, הצלעות $a,b,c$ נמצאות מול הזוויות $A,B,C$; חוקי הסינוס והקוסינוס משתמשים בהם

שטח כל משולש

• נוסחה זו עובדת עבור כל משולש (לא רק ישר-זווית), תוך שימוש בשתי צלעות ובזווית הכלולה ביניהן.

דוגמה מפורשת

• $b = 7$, $c = 8$, זווית כלולה $A = 40^{\circ}$.
• $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, ולכן $a = 5.2$ ס"מ.

חוק הקוסינוסים מהווה הרחבה לפיתגורס: כאשר $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ ומקבלים $a^2 = b^2 + c^2$.

מציאת זווית ובדיקת האפשרות השנייה

• עם צלעות $a=5,b=7,c=8$, השתמש ב-$\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. לכן $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
• בשאלת חוק הסינוסים, $a=10,A=30^{\circ},b=12$ נותן $\sin B=b\sin A/a=0.6$. גם $B\approx36.9^{\circ}$ וגם $143.1^{\circ}$ משאירים זווית שלישית חיובית, ולכן אפשריים שני משולשים. השתמשו בתנאי נוסף, כמו כך שהזווית B היא זווית קהה, כדי לבחור.

שטח עם זווית כלולה

• שתי צלעות 7 ס"מ ו-8 ס"מ כוללות זווית $40^{\circ}$. השתמשו ב-$K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
• הזווית חייבת לה_appear_ בין שתי הצלעות המשמשות. יש לשמור על מצב מעלות ועל ערכים טריגונומטריים מלאים עד לעיגול הסופי.

הבנתך מושלמת