טריגונומטריה במשולשים ישרי-זווית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| trigonometry/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/ | טריגונומטריה |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | ניצב מול |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | ניצב סמוך |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | זווית הרמה |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | זווית נמיכה |
כמה גבוה העץ הזה?
- לא ניתן לעלות עליו עם מטרת מדידה. אך עומד $10$ מטר הרחוק ומסתכל כלפי $50^{\circ}$, הטריגונומטריה נותנת לך את הגובה: $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ מטר.
- טריגונומטריה מדדת דברים שאין למדוד — באמצעות זוויות ואורך אחד ידוע.
קישוט הצלעות
- במשולש ישר זווית, כנה את הצלעות ביחס לזווית $\theta$:
- ניגוד (O): הצלע המולכת ל$\theta$.
- סמוך (A): הצלע הסמוכה ל$\theta$ (לא היתר).
- יתר (H): הצלע הארוכה ביותר, המולכת לזווית הישרה.
SOH-CAH-TOA: השלושה יחסים המקשרים בין זוויות לאורכי צלעות במשולשים ישרי זווית.
טריגונומטריה במשולש ישר זווית
(cos θ, sin θ)
SOHCAHTOA נובע מעיגול זה — sin, cos ו-tan של הזווית.
שלושת היחסים — SOH CAH TOA
- למציאת צלע: השתמש ביחס והכפל/חלק.
- למציאת זווית: השתמש ב-הפוך ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
ניגוד $4$, סמוך $3$: $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$, ולכן $\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$.
הסתכלות כלפי מגדל כוללת זווית הרמה
במשולש ישר זווית האלכסון הוא 10 ס"מ והזווית היא 30°. הצלע המולפת = 10 × sin 30°. מצאו אותה (ס"מ).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 ס"מ.
הצד הנגד הוא 4 ס"מ והצד הסמוך הוא 3 ס"מ. מצא את הזווית (במעלות, 1 מק"ר).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan θ = 4/3, לכן θ = tan⁻¹(4/3) = 53.1°.
הצלע הסמוכה היא 8 ס"מ והזווית היא 60°. האלכסון = 8 / cos 60°. מצאו אותו (ס"מ).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos 60° = 0.5, לכן אלכ = 8 / 0.5 = 16 ס"מ.
ב-SOH CAH TOA, sin θ = צלע מולפת / ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SOH: sin θ = צלע מולפת / אלכסון.
זוויות הרמה והשפל (מורחב)
- זווית הרמה: צפייה למעלה מהאופק.
- זווית השפל: צפייה למטה מהאופק.
- שתי הזוויות נמדדות מהאופק, לא מהאנכי.
תמיד מהאופק. זווית ההרמה/השפל נמדדת מקו האופק, ולא מהאנכי. זהו השגיאה הנפוצה ביותר בבעיות אלו.
שימו את שמות הצלעות לפי הזווית $\theta$: המול מולו, הסמוך לצידו, היתר מול הזווית הישרה (SOH-CAH-TOA)
ממרחק של 50 מ', זווית הגובה לפסגת מגדל היא 40°. הגובה = 50 × tan 40°. מצא אותו (במטר, 1 מק"ר).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
50 × tan 40° = 50 × 0.839 = 42.0 מ'.
זווית הגובה נמדדת מהאנך.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוויות גובה ושפל נמדדות מהאופק, לא מהאנך.
דוגמה מפורשת
- $50$ מטר ממגדל, הרמה $40^{\circ}$:
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ מטר. שמור על הערך המלא מחושב במחשבון של הטנגנס לפני עיגול.
זווית ההרמה מסתכלת למעלה מהאופק; זווית השפל מסתכלת למטה
הבנתך מושלמת
- SOH: $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$; CAH: $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$; TOA: $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- השתמשו בפונקציה ההפוכה ($\tan^{-1}$ וכו') כדי למצוא זווית
- הרמה מסתכלת למעלה, שפל מסתכל למטה — שתיהן מהאופק