צורות דומות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| similar/ˈsɪmɪlə/ | דומים |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | גורם קנה מידה |
| congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ | שווה-צורה |
הקווים הארכיטקטוניים של האדריכל
- אדריכל מצייר מבנה בקנה מידה 1:100. כל מדידה על התוכנית היא $\dfrac{1}{100}$ מהגודל האמיתי.
- השרטוט והמבנה הם דומים — אותו צורה, גודל שונה.
מה גורם לצורות להיות דומות?
- שתי צורות הן דומות אם יש להן אותם זוויות וכל הצדדים כפולים באותו גורם קנה מידה $k$.
- כל העיגולים דומים. כל המשולשים השווים-צלעות דומים. לא כל הריבועונים דומים.
- צורות ששהן באותו גודל ובאותו צורה בדיוק נקראות חופפות.
משולש עם צדדים $3, 4, 5$ ומשולש עם צדדים $6, 8, 10$: גורם קנה מידה $k = 2$. אותם זוויות ($90^{\circ}$), צדדים כפולים. הן דומות.
שלוש הזוויות של משולש סכום שווה ל-180 מעלות
צורות דומות — הגדלה
צורות דומות הן בעלות אותו צורה אך בגודל שונה. בהגדלה מושקל כל אורך באותו גורם; הזוויות נשארות ללא שינוי.
צורות דומות בעלות אותן זוויות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
צורות דומות שומרות על שוויון כל הזוויות; רק אורכי הצלעות משתנים ביחס קבוע.
לשני משולשים דומים יש צלעות של ⟦5 cm⟧ ו-⟦15 cm⟧. מהו גורם ההשקה k?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
k = 15/5 = 3.
צורות שזהות לחלוטין גם בגודל וגם בצורה נקראות ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
צורות חופפות זהות גם בגודל וגם בצורה (גורם קנה מידה = 1).
שטח ונפח מתרחבים בקצב שונה (מתקדם) (מתקדם)
- אורכים מתקפלים לפי $k$, אך:
אל תכפילו שטח כמו אורך. אם גורם קנה המידה הוא $2$, היחס בשטח הוא $2^2 = 4$, ולא $2$. ויחס בנפח הוא $2^3 = 8$.
שתי צורות דומות יש להן יחס ארכים של ⟦2:3⟧. יחס השטחים הוא ⟦4:b⟧. מה ערך b?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השטח משתנה לפי k²: ⟦2²:3² = 4:9⟧, ולכן ⟦b = 9⟧.
אם גורם הקנה מידה הוא 4, יחס השטחים הוא k²:1. מהו k²?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
⟦4² = 16⟧. השטח משתנה כריבוע גורם ההשקה.
דוגמה מפורשת
- לשני גופים דומים אורכים ביחס $2:3$.
- יחס שטחים $= 2^2:3^2 = 4:9$.
- יחס נפחים $= 2^3:3^3 = 8:27$.
- אם הקטן בעל נפח $40$ ס"מ³: הגדול $= 40 \times \dfrac{27}{8} = 135$ ס"מ³.
שני גופים דומים יש להם יחס ארכים של ⟦2:3⟧; לגוף הקטן יש נפח של ⟦40 cm³⟧. מצאו את הנפח של הגוף הגדול (ב-⟦cm³⟧).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
יחס הנפח הוא ⟦8:27, ולכן ⟦40 × 27/8 = 135 cm³⟧.
עובדה מעניינת
- שטח פנים של כדור קנה מידה כ$r^2$, אך נפחו קנה מידה כ$r^3$. מכאן שפילים צריכים אוזניים גדולות (שטח פנים לקירור) בעוד עכברים לא — הנפח גדל מהר יותר משטח הפנים.
שני ריבועים תמיד דומים — אותם זוויות, צלעות בקנה מידה פי גורם. כאן גורם הקנה מידה הוא $2$, ולכן יחס השטחים הוא $4$.
למצוא אורך תואם חסר
- צלעות תואמות של 4 ס"מ ו-10 ס"מ נותנות יחס $k=10/4=2.5$ מקטן לגדול. לכן צלע בגודל 6 ס"מ הופכת ל-$L=kl=2.5(6)=15$ ס"מ.
- בהיפוך, צלע גדולה של 20 ס"מ נובעת מצלע של $l=L/k=20/2.5=8$ ס"מ. לימודים בסיסיים משתמשים ביחסי אורכים; מתקדם משתמש גם ביחסי שטח ונפח.
צורות דומות יש להן גורם קנה מידה 2.5 מקטן לגדול. מצאו את הצד הקטן המתאים ל-20 ס"מ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הפכו את ההגדלה: 20 / 2.5 = 8 ס"מ.
הבנתך מושלמת
- דומים = אותם זוויות, צלעות $\times$ קנה מידה פי $k$
- שטח קנה מידה פי $k^2$, נפח קנה מידה פי $k^3$
- אורכים $2:3 \Rightarrow$ שטחים $4:9 \Rightarrow$ נפחים $8:27$