אורך ואמצע
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | קטע ישר |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | יתר |
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | משפט פיתגורס |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | אמצע |
כמה זה מרחק, באמת?
- הטלפון שלך אומר שהקפה נמצאת ב-1.2 ק"מ — אבל זה המרחק בקו ישר, לא ההליכה המפותלת לאורך הרחובות.
- בגיאומטריה אנליטית לעיתים קרובות אנו זקוקים למרחק הקו הישר המדויק בין שתי נקודות.
- הכלי? משפט בן 2500 שנה.
מעבדה: אורך ואמצע
האמצע נמצא במרכז בין הנקודות הקצה
הזז לאורך קטע וראה את האמצע כחצי הדרך.
אורך קטע (הרחבה)
- קטע ישר הוא החלק הישר בין שני נקודות $(x_1, y_1)$ ו$(x_2, y_2)$.
- צייר משולש ישר זווית עם הקטע כאלכסון:
- הפער האופקי הוא $x_2 - x_1$ והפער האנכי הוא $y_2 - y_1$.
- לפי פיثגורס, האורך הוא:
הפער האופקי (3) והפער האנכי (4) נותנים את האורך לפי פיثגורס; הנקודה האמצעית היא הממוצע של הקואורדינטות
דוגמה מוצעת — אורך
- מצא את האורך מ$(1, 2)$ ל$(4, 6)$.
- פער אופקי $= 4 - 1 = 3$; פער אנכי $= 6 - 2 = 4$.
- אורך $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
- המשולש הישר-זווית הקלאסי 3-4-5 מספק תשובה נקייה.
פיثגורס מוצא את האורך (האלכסון); ממוצע מוצא את נקודת האמצע (כוכב).
מראשית הצירים. אורך מ$(0, 0)$ ל$(3, 4)$: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. אותו משולש, נקודת התחלה שונה.
מצאו את אורך הקטע מ-⟦(1, 2)⟧ ל-⟦(4, 6)⟧.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
מצאו את אורך הקטע מ-⟦(0, 0)⟧ ל-⟦(3, 4)⟧.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. המשולש הקלאסי 3-4-5.
מצאו את אורך הקטע מ-⟦(1, 5)⟧ ל-⟦(7, 5)⟧.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
לשתי הנקודות יש y = 5 (קטע אופקי). האורך = 7 − 1 = 6.
נקודת אמצע של קטע (הרחבה)
- נקודת האמצע היא הנקודה בדיוק באמצע בין שתי הנקודות הקצה.
- מצא אותה על ידי ממוצע כל קואורדינاته:
- זו ה"אמצע" $x$ הזוגי עם ה"אמצע" $y$.
דוגמה מפורטת — נקודת אמצע
- מצאו את נקודת האמצע בין $(1, 2)$ ל-$(4, 6)$.
- מחצית $x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$.
- מחצית $y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
- נקודת אמצע $= (2.5,\, 4)$ — בדיוק באמצע הדרך.
חשבו ממוצע, אל תסכמו. נקודת האמצע של $(1, 2)$ ו-$(4, 6)$ היא $(2.5, 4)$, ולא $(5, 8)$. עליכם לחלק ב-2 — לחשב ממוצע, לא סכום.
האמצע של ⟨⟦1, 2⟧⟩ ו-⟦(4, 6)⟧ הוא ⟨⟦a, 4⟧⟩. מה ערך a?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ממוצע ערכי x: (1 + 4)/2 = 2.5.
האמצע של ⟨⟦2, 3⟧⟩ ו-⟦(8, 9)⟧ הוא ⟨⟦5, b⟧⟩. מה ערך b?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ממוצע ערכי y: (3 + 9)/2 = 6.
הקואורדינטה x של האמצע של ⟨⟦x₁, y₁⟧⟩ ו-⟦(x₂, y₂)⟧ היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
האמצע הוא הממוצע של כל קואורדינטה: (x₁ + x₂)/2. בחירה 2 שוכחת לחלק; בחירה 3 נותנת חצי מהרווח, לא המיקום.
השלם: קואורדינת ה-x של נקודת האמצע = (x₁ + ______) / 2.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קואורדינת ה-x של נקודת האמצע היא הממוצע של שני ערכי ה-x: (x₁ + x₂)/2.
משפחת המשולשים 3-4-5
- המשולש עם צלעות $3, 4, 5$ הוא המשולש הישר זווית הקטן ביותר עם צלעות בעלות ערכים שלמים.
- כפילות גם עובדת: $6, 8, 10$ ו-$9, 12, 15$ הם גם כן משולשי ישר זווית.
- תראו משפחה זו לעיתים קרובות בשאלות במבחנים — הזיהו אותה וחסכו זמן.
עבור קטע אופקי (שניהם בעלי אותה ערך y), האורך הוא פשוט ההפרש בין ערכי ה-x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאשר y₁ = y₂, הנוסחה מצטמצמת ל- √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁|.
התאם כל קטע לאורכו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(0,0)–(5,0) הוא אופקי, אורך 5. (1,1)–(1,4) הוא אנכי, אורך 3. (0,0)–(6,8): √(36+64) = √100 = 10. (2,3)–(5,7): √(9+16) = √25 = 5.
הבנתך מושלמת
- אורך $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (פיגור הוריאונטלי ואנכי לפי פיתגורס)
- נקודת אמצע $= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (ממוצע כל קואורדינטה)
- מ-$(1,2)$ ל-$(4,6)$: אורך $5$, נקודת אמצע $(2.5,\, 4)$
- המשולש הישר זווית 3-4-5 מופיע לעיתים קרובות — זיהו אותו מוקדם