פונקציות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
| range/reɪndʒ/ | תחום ערכים |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה הפוכה |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מורכבת |
מכונה עם קלט ופלט
- מכונת מכירה אוטומטית: מציבים קוד (קלט), היא נותנת ממתק (פלט). פונקציה פועלת באותו אופן — כל קלט מייצר בדיוק פלט אחד.
- $f(x) = 3x - 5$ היא פונקציה: מציבים $x = 2$, מקבלים מחוץ $f(2) = 1$.
הערכת פונקציות
- $f(x) = 3x - 5$: $\;f(2) = 3(2) - 5 = 1$; $\;f(0) = -5$; $\;f(-1) = -8$.
- תחום ההגדרה הוא קבוצת הקלטים המותרים. תחום הערכים הוא קבוצת הפלטים האפשריים.
$f(x) = \sqrt{x}$ יש תחום הגדרה $x \geq 0$ (לא ניתן לשורש ריבועי מספר שלילי) ותחום ערכים $f(x) \geq 0$.
פונקציות
y = f(x)
פונקציה ממירה כל קלט בדיוק ל-תוצאת קלט אחת — שימו לב לצורתה.
עבור f(x) = 3x − 5, מהי ערך הפונקציה בנקודה f(2)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f(2) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1.
עבור f(x) = x² + 1, מהי ערך הפונקציה בנקודה f(3)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
פונקציות הפוכות
- ה-הופך $f^{-1}$ מבטל $f$: אם $f$ ממיר $2$ ל-$1$, אזי $f^{-1}$ ממיר חזרה את $1$ ל-$2$.
- שיטה: כתוב $y = f(x)$, החלף $x$ ו$y$, ואז הביא את $y$ לפנים.
- $f(x) = 3x - 5$: $y = 3x - 5$, החלפה: $x = 3y - 5$, פתרון: $y = \dfrac{x+5}{3}$.
- כך $f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3}$. בדיקה: $f^{-1}(1) = \dfrac{6}{3} = 2$ ✓.
$f^{-1}$ אינו $f$ בחזקת $-1$. הסימון $f^{-1}(x)$ פירושו "הופך של $f$", ולא "$\dfrac{1}{f(x)}$". אלו שני דברים שונים לחלוטין.
הפונקציה ההפוכה של f(x) = 3x − 5 היא f⁻¹(x) = (x + 5)/3. מהי ערך הפונקציה ההפוכה בנקודה f⁻¹(1)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f⁻¹(1) = (1 + 5)/3 = 6/3 = 2.
כדי למצוא את הפונקציה ההופכת של f(x), כתוב y = f(x), החלף בין x ל-y, ולאחר מכן ביטוי ______ כנושא המשוואה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לאחר ההחלפה, פתור עבור y — זה ייתן לך את f⁻¹(x).
פונקציות מורכבות
- $gf(x)$ פירושה "לבצע תחילה את $f$, ואז להפעיל את $g$ על התוצאה".
- $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 3$: $gf(x) = g(2x) = 2x + 3$.
- $fg(x) = f(x+3) = 2(x+3) = 2x + 6$. הסדר חשוב!
אם f(x) = 2x ו-g(x) = x + 3, מהו ערך ה- composition gf(x) ב-x = 5? (gf פירושו לבצע תחילה את f)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
gf(5) = g(f(5)) = g(10) = 10 + 3 = 13.
עבור f(x) = 2x ו-g(x) = x + 3, התוצאות של gf(x) ו-fg(x) שונות זו מזו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
gf(x) = 2x + 3, אך fg(x) = 2(x+3) = 2x + 6. הסדר משנה.
עובדה מעניינת
- פונקציית זהות $I(x) = x$ משאירה הכל ללא שינוי. עבור כל פונקציה, $f \circ f^{-1} = I$ — הרכבת פונקציה עם ההופך שלה מחזירה את הקלט המקורי.
כל עקומה כאן היא פונקציה: עבור כל קלט $x$, קיים בדיוק יציאה אחת $y$.
הבנתך מושלמת
- $f(x) = 3x - 5 \Rightarrow f(2) = 1$; תחום הגדרה = קלטים, טווח = יציאות
- הופך $f^{-1}$ מבטל את $f$: להחליף בין $x$ ל-$y$, ולאחר מכן לפתור עבור $y$
- מורכב $gf(x)$ = לבצע תחילה את $f$, ואז $g$; הסדר חשוב ($gf \neq fg$)