גזירה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | חשבון אינפיניטסימלי |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה |
| differentiate/ˌdɪfəˈrenʃɪeɪt/ | לגזור |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | נקודה סטטינית |
השיפועשת משתנה
- לקו ישר יש אותו שיפוע בכל מקום. לעקומה יש שיפוע שונה בכל נקודה.
- ניוטון ולייבניץ המציאו גזירה כדי לענות על השאלה: "מהו שיפוע העקומה כאן בדיוק?" התשובה היא ה-גזירה.
כלל החזקה
- אם $y = ax^n$, אז $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- במילים: הורד את החזקה למקום הקדם, ואז הנמך אותה באחד.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. גזר איבר איבר — כל איבר מטופל בנפרד.
השיפוע של עקומה בנקודה הוא שיפוע המשיק שם, והוא מה שהגזירה מוצאת
השיפוע בנקודה
שיפוע = dy/dx
הזז את הנקודה — השיפוע של המשיק הוא הגרדיאנט בנקודה זו.
אם y = x³ + 2x² − 5x, אז dy/dx = 3x² + 4x − 5. מהו הערך שלו ב-x = 1?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3(1)² + 4(1) − 5 = 3 + 4 − 5 = 2.
עבור y = axⁿ, כאשר n הוא מספר שלם חיובי, הגזירה נותנת:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מורידים את החזקה ומפחיתים אותה ב-1: a·n·xⁿ⁻¹.
אם y = 4x³, מהו dy/dx ב-x = 2?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 12x². ב-x = 2: 12(4) = 48.
גזירתה של y = x⁵ היא dy/dx = ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל החזקות: מורידים את ה-5 ומפחיתים את החזקה: 5x⁴.
מקרים מיוחדים
- $y = c$ (קבוע) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (לקו אופקי יש שיפוע אפס).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (לקו ישר יש שיפוע קבוע).
- כלל החזקות ב-IGCSE כאן משתמש בחזקות של מספרים שלמים אי-שליליים ובסכומים של עד שלושה איברים; גזירה של פונקציות הפוכות מחוץ לתוכנית הלימודים.
אל תשכח את האיבר הקבוע. הנגזרת של $x^2 + 7$ היא $2x$, לא $2x + 7$. הנגזרת של קבוע היא תמיד אפס.
גזירתה של y = x² + 7 היא 2x + 7.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גזירת קבוע היא 0. לכן dy/dx = 2x, ולא 2x + 7.
נקודות קיטוע
- נקודה עצירה היא מקום שבו $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — המעקף שטוח לרגע.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- ב$x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. נקודת קיצון: $(3, -4)$.
נקודה עצירה היא שבה העקומה הופכת לרעידה רגעית — השיפוע (הגזירה) שווה לאפס.
לעקומה y = x² − 6x + 5 יש נקודת קיצון. באילו ערך של x (dy/dx = 0)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 2x − 6 = 0 נותן x = 3.
מדוע גזירה חשובה
- פיזיקה: מהירות היא הגזירה של מיקום; תאוצה היא הגזירה של מהירות.
- כלכלה: עלות שולית היא הגזירה של עלות כוללת — העלות של יחידה נוספת.
- אופטימיזציה: כדי למקסیمum רווח או למינימום cost, יש להשוות את הגזירה לאפס.
מגע מעריך שיפוע של עקומה
- ציירו נגיעה הנוגעת במעקף בנקודה הרצויה, ולאחר מכן בחרו שתי נקודות ברורות על הנגיעה, ולא שתי נקודות שרירותיות על המעקף. חשבו את העלייה חלקי הירידה שלה.
- עבור $y=x^2$ ב-$(2,4)$, מגע העובר דרך $(1,0)$ ו-$(3,8)$ יש לו $m=(8-0)/(3-1)=4$. גזירה מאשרת $dy/dx=2x=4$ ב-$x=2$.
משיק עובר דרך (1,0) ו-(3,8). מצאו את השיפוע שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הרמה 8 מחולקת במריחה 2 נותנת 4.
מינימום או מקסימום?
- עבור $y=x^2-6x+5$, הנגזרת היא $2x-6$. היא שלילית ב-$x=2$, אפס ב-3 וחיובית ב-4: ירידה ואז עלייה מצביעות על מינימום ב-$(3,-4)$.
- עבור $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. חיובי ב-1 ושלילי ב-3 מצביעים על מקסימום ב-$x=2$, שבו $y=5$.
עבור y = −x² + 4x + 1, מצאו את הקואורדינטה y של המקסימום שלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = −2x + 4 הוא אפס ב-x = 2; y = −4 + 8 + 1 = 5.
הבנתך מושלמת
- כלל החזקה: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- גוזרים סכמה איבר איבר; הגזירה של קבוע היא אפס
- נקודה עצירה היא שבה $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$