סדרות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | סדרה |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | כלל מקום למקום |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | הפרש איכותי |
| nth term/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm/ | איבר כללי |
| quadratic sequence/kwɒˈdrætɪk ˈsiːkwəns/ | סדרה ריבועית |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | סדרה גיאומטרית |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס איכותי |
חזויית עתיד
- חמניה מוסיפה טבעת עלי כותרת בהתאם לתבנית פיבונאצי: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
- סדרות הן דפוסי מספרים. ברגע שמכירים את הכלל, ניתן לחזות כל איבר — גם את המיליוני.
כלל מאיבר לאיבר
- הסדרות הפשוטות ביותר מוסיפות (או מחסרות) סכום קבוע בכל פעם: $2, 5, 8, 11, \dots$ עולה ב-$3$.
- זהו הכלל מאיבר לאיבר (ה-הפרש השווה).
כרובית רומנסקה: ספירלות חוזרות-עצמן יוצרות תבנית מספר טבעי
סדרות
uₙ = a + (n − 1)d
בסדרה אריתמטית מחברים תמיד את אותו צעד; ה-סכום גדל באופן קבוע.
האיבר ה-n (חוק מיקום-לאיבר)
- עבור סדרה ליניארית (הפרש קבוע $d$), האיבר ה-n הוא $dn + c$.
- $2, 5, 8, 11, \dots$: הפרש $d = 3$, האיבר הראשון $= 2$, ולכן $3n - 1$.
- בדיקה: $n=1 \Rightarrow 3(1)-1 = 2$ ✓; $\;n=4 \Rightarrow 3(4)-1 = 11$ ✓.
מציאת c. הסדרה מתחילה ב-$2$ כאשר $n=1$: $3(1) + c = 2 \Rightarrow c = -1$. לכן האיבר ה-n הוא $3n - 1$.
איבר נ"פ של הסדרה 2, 5, 8, 11, … הוא 3n − 1. מהו האיבר ה-10?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3 × 10 − 1 = 30 − 1 = 29.
לסדרה ליניארית העולה ב-3 בכל פעם, האיבר נ"פ מכיל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפרש קבוע של 3 אומר שהאיבר נ"פ הוא 3n שמוזז בקבוע.
האיבר נ"פ של הסדרה 4, 7, 10, 13, … הוא 3n + ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
3(1) + c = 4 → c = 1. האיבר נ"פ הוא 3n + 1.
סדרות ריבועיות פשוטות
- כאשר ההפרשים הראשונים משתנים אך ההפרשים השניים קבועים, זוהי סדרה ריבועית.
- $2, 5, 10, 17, \dots$: הפרשים ראשונים $3, 5, 7$; הפרשים שניים $2, 2$.
- המקדם של $n^2$ הוא מחצית ההפרש השני: $\dfrac{2}{2} = 1$, ולכן האיבר של $n^2$ הוא $n^2$.
- התאמה: $n^2 + 1$ נותן $2, 5, 10, 17$. ✓
קווי מספר מראים גם כן תבניות: בסדרה ריבועית, הפער בין האיברים גדל באופן קבוע.
מחצית ההפרש השני. מקדם ה-$n^2$ הוא $\dfrac{\text{second difference}}{2}$, לא ההפרש השני עצמו. עבור $2, 5, 10, 17$ ההפרש השני הוא $2$, מה שמניב $n^2$ (ולא $2n^2$).
איבר נ"פ של הסדרה 2, 5, 10, 17, … הוא n² + 1. מהו האיבר ה-5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5² + 1 = 25 + 1 = 26.
בסדרה ריבועית, ההפרשים השניים הם קבועים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ההפרשים הראשונים משתנים באופן קבוע, אך ההפרשים השניים (הפרשי הפרשים) הם קבועים.
סדרות גיאומטריות
- כל איבר מוכפל ביחס קבוע: $3, 6, 12, 24, \dots$ (הכפלה ב-2 בכל פעם).
- האיבר ה-n הוא $a \times r^{n-1}$, כאשר $a$ הוא האיבר הראשון ו-$r$ הוא היחס הקבוע.
- $3 \times 2^{n-1}$: $\;n=1 \Rightarrow 3$, $\;n=4 \Rightarrow 3 \times 8 = 24$. ✓
איבר נ"פ של הסדרה 3, 6, 12, 24, … הוא 3 × 2^(n−1). מהו האיבר ה-6?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
מצאו את האיבר החמישי של uₙ = n³ + 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5³ + 2 = 125 + 2 = 127.
קוביות ובדיקת איבר-מספר
- הליבה כוללת סדרות קוביות פשוטות. $3,10,29,66$ הם 2 יותר מ$1^3,2^3,3^3,4^3$, ולכן $u_n=n^3+2$. האיבר החמישי הוא $u_5=125+2=127$.
- עבור $u_n=4n+3$, בדיקה האם 100 הוא איבר נותנת $4n+3=100$, ולכן $n=24.25$. מספר האיבר חייב להיות שלם חיובי, ולכן 100 אינו מופיע בסדרה זו.
הבנתך מושלמת
- סדרה ליניארית: האיבר ה-n $= dn + c$ (הפרש קבוע $d$) → $2,5,8,11 \to 3n-1$
- ריבועית פשוטה: הפרש שני $= 2 \times$ כפול המקדם ה-$n^2$ → $2,5,10,17 \to n^2 + 1$
- גיאומטרי: האיבר ה-n $= a \times r^{n-1}$ (יחס קבוע $r$) → $3,6,12,24 \to 3 \times 2^{n-1}$