צמיחה ודעיכה מעריכיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | גידול אקספוננציאלי |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | מופעל (בסיס ריבית) |
| decay/dɪˈkeɪ/ | דעיכה |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | דעכת ערך |
| half-life/hɑːf laɪf/ | חצי חיים |
חידה אחת הופכת למיליארד
- חידה מתחלקת כל 20 דקות. לאחר 10 שעות (30 חלוקות), תא אחד הופך ל-$2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — מעל מיליארד.
- זהו צמיחה אקספוננציאלית: אותה אחוז גידול בכל תקופה, שמכפלת את עצמה.
- צמיחה ליניארית מוסיפה סכום קבוע; צמיחה אקספוננציאלית מכפילה — והיא תמיד מנצחת בסוף.
הנוסחה לכפל
- כאשר כמות משתנה באותו אחוז בכל תקופה:
- $P$ = ערך התחלתי, $r$ = אחוז הקצב לכל תקופה, $t$ = מספר התקופות.
- צמיחה: $r > 0$; דעיכה: $r < 0$ (או השתמש במכפיל מתחת ל-1).
צמיחה אקספוננציאלית (קמטול) מתחילה לאט אך לבסוף נערכת הרחק מאחורי צמיחה ליניארית (קו ישר).
ריבית מורכבת
הכסף גדל פי (1 + r) כל שנה, ולכן עקומות הריבית המורכבת נמצאות מעל פני הריבית הפשוטה. גררו את קצב השינוי ואת מספר השנים.
צמיחה ודעיכה מעריכיות
y = a·bˣ
שנו את הבסיס b: אם b > 1 מתרחש צמיחה, ואם 0 < b < 1 מתרחשת דעיכה — שימושי לריבית ולאוכלוסיות.
רכב מאבד 15% מערכו כל שנה. איזה מכפיל שנתי יש להשתמש בו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
איבוד של 15% משאיר 85%, ולכן המכפיל הוא 0.85.
התבלות של ערך רכב כל שנה היא דוגמה ל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איבוד של אחוז קבוע כל שנה הוא דעיכה מעריכית (מכפיל < 1, החלה חוזרת).
נוסחת הגידול הנוספת היא: סופי = P × (1 + ______)^t, כאשר r הוא שיעור באחוזים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השיעור r% יש להמיר לעשרוני: r/100. לכן המקדם הוא (1 + r/100).
דעיכה אקספוננציאלית וירידת ערך
- דעיכה עובדת באותו אופן עם מכפיל מתחת ל-1.
- רכב בערך 20 000 מאבד 15% כל שנה → גורם כפל $0.85$.
- לאחר 4 שנים: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
חצי חיים. איזוטופ רדיואקטיבי דועך ב-10% כל שנה. "חצי החיים" שלו (הזמן עד להיחצות) הוא $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ שנים — ניתן למצוא זאת על ידי פתרון $0.9^t = 0.5$.
רכב בשווי 20000 מתערך ב-15% לשנה. ערכו לאחר 4 שנים (לקירוב ל-10) הוא:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
דוגמה מפורשת
- אוכלוסייה של 5000 גדלה ב-8% בשנה. לאחר 6 שנים:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
כפל ≠ פשוט. 8% כל שנה למשך 6 שנים הם לא $8 \times 6 = 48\%$ בסך הכל (זה היה נותן $5000 \times 1.48 = 7400$). הכפל נותן $58.7\%$ בסך הכל — כמעט 11% יותר, כי הגידול של כל שנה מייצר גם גידול.
אוכלוסייה של 5000 גדלה ב-8% כל שנה. מה גודל האוכלוסייה לאחר 6 שנים (מעוגל למספר שלם הקרוב ביותר)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
צמיחה של 8% כל שנה במשך 6 שנות מביאה בסך הכל לעלייה של בדיוק 48%.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הריבית הנוספת נותנת 1.08⁶ ≈ 1.587, עלייה של 58.7% — יותר מ-48% כי הגידול מייצר גידול.
היכן שצמיחה אקספוננציאלית מופיעה
- מגפות: התפשטות ראשונית היא לעיתים קרובות אקספוננציאלית (כל אדם מודבק מדבק אחרים).
- השקעות: ריבית מורכבת היא צמיחה אקספוננציאלית של הכסף שלך.
- טכנולוגיה: חוק מור ציפה כי כוח המחשוב יכפיל את עצמו כל ~2 שנים במשך עשורים רבים.
הבנתך מושלמת
- שינוי אקספוננציאלי משתמש בנוסחת ההרכבה $P(1 + r/100)^t$
- גידול = מכפיל $> 1$; דעכה/התיישנות = מכפיל $< 1$
- הפסד שנתי של 15% → מכפיל $0.85$; לאחר 4 שנים: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- אקספוננציאל תמיד יעלה על ליניארי בסופו של דבר — הרכבה מייצרת גידול על גידול