קבוצות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| set/set/ | קבוצה |
| elements/ˈelɪmənts/ | איברים |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | קבוצה אוניברסלית |
| empty set/ˈempti set/ | קבוצה ריקה |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | חיתוך |
| union/ˈjuːnɪən/ | איחוד |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | משלים |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | דיאגרמת ון |
מחזור 2024
- לבית ספר יש 30 תלמידים. 18 לומדים צרפתית, 12 לומדים ספרדית, ו-5 לומדים שתי השפות.
- כמה לומדים אף אחת? לא ניתן פשוט לחבר – יש להשתמש ב-קבוצות.
- קבוצות הן שפת הקיבוצים, והן מופעלות כמעט הכל: ממסדי נתונים ועד הסתברות.
מהי קבוצה?
- קבוצה היא אוסף של אובייקטים שונים (ה-אלמנטים או ה-חברים).
- נכתבת עם סוגרי מעוקלים: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- $3 \in A$ משמעותו "$3$ הוא אלמנט של $A$"; $7 \notin A$ משמעותו "$7$ אינו".
- ה-קבוצה האוניברסלית $\xi$ מכילה את הכל במרחב הדיון. ה-קבוצה הריקה $\emptyset$ אינה מכילה אלמנטים.
$A\cap B=\{6\}$ הוא המספר היחיד בשני העיגולים; $A\cup B$ הוא הכל בתוך כל עיגול
פעולות על קבוצות בגרף ון
גרף ון מציג שתי קבוצות. גלול דרך הפעולות כדי לראות איזה אזור האיחוד, החיתוך והמשלים צבועים.
הקבוצה הריקה ∅ היא תת-קבוצה של כל קבוצה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקבוצה הריקה אין אובייקטים, ולכן היא מופקעת באופן טריוויאלי בכל קבוצה.
חיתוך ואיחוד
- חיתוך $A \cap B$: רכיבים הנמצאים בשתי $A$ ו$B$.
- איחוד $A \cup B$: אלמנטים הנמצאים ב$A$ או ב$B$ (או בשניהם).
- משלימה $A'$: הכל בקבוצה האוניברסלית שאינו נמצא ב$A$.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$. לאחר מכן $A \cap B = \{3, 4\}$ ו$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
A = {2,4,6,8,10} ו-B = {3,6,9}. כמה איברים יש ב-A ∩ B?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
רק ⟨6⟩ נמצא בשתי הקבוצות, ולכן A ∩ B = {6}, שהיא בעלת ⟨1⟩ איבר.
עבור אותה A ו-B, כמה איברים יש ב-A ∪ B?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A ∪ B = {2,3,4,6,8,9,10}, שהיא בעלת ⟨7⟩ איברים.
הסמל ∩ פירושו:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∩ הוא חיתוך (אובייקטים ב-A וב-B); ∪ הוא איחוד.
דיאגרמות ון
- דיאגרמת ון מציירת קבוצות כעיגולים החופפים זה על גבי זה בתוך מלבן (הקבוצה האוניברסלית).
- אזור ההתחפוץ = חיתוך; הכל בתוך עיגול = חברי הקבוצה ההיא.
דיאגרמות ון מראות כיצד קבוצות מקשורות זו לזו — כאן, כל מספר טבעי הוא גם שלם וגם רציונלי.
אל תספור כפול. בעת מציאת $n(A \cup B)$, השתמש ב$n(A) + n(B) - n(A \cap B)$. החיתוך נספר פעם אחת בכל קבוצה, ולכן יש להפחית אותו פעם אחת.
דוגמה מפורשת
- 30 תלמידים, $F =$ צרפתית (18), $S =$ ספרדית (12), $F \cap S = 5$.
- $n(F \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$.
- אף אחד מה$= 30 - 25 = 5$ תלמידים לא לומד אף אחת משתי השפות.
n(A) = 5, n(B) = 3, n(A ∩ B) = 1. מצאו את n(A ∪ B).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 5 + 3 − 1 = 7.
כיתה של 30 תלמידים: 18 לומדים צרפתית, 12 לומדים ספרדית ו-5 לומדים שתי השפות. כמה תלמידים לא לומדים אף אחת מהן?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
n(F ∪ S) = 18 + 12 − 5 = 25. אף אחת = 30 − 25 = 5.
שלושה קבצים (מתקדם)
- במתכונת ון לשלושה קבוצות, מלאו תחילה את החיתוך המשולש, לאחר מכן את האזורים השייכים בדיוק לשתי קבוצות, ולאחר מכן את האזורים של קבוצה אחת בלבד. אם $n(A\cap B)=7$ כולל את 2 בשלושת הקבוצות, אזי האזור AB בלבד הוא $7-2=5$.
- עבור $n(A)=12,n(B)=10,n(C)=9$, זוג חיתוכים AB=4, AC=3, BC=2 וחיתוך משולש=1, האיחוד הוא $n(A\cup B\cup C)=12+10+9-4-3-2+1=23$. החיתוך המשולש נוסף בחזרה כי שלושת הפחותות הזוגיות הסירו אותו יותר מדי פעמים.
גודל הקבוצות הוא 12,10,9; חיתוך זוגי 4,3,2; חיתוך משולש 1. מצאו את גודל האיחוד.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוסיפו יחידים, הורידו כל הזוגות, הוסיפו את המשולש: 31−9+1 = 23.
הבנתך מושלמת
- $A \cap B$ = חיתוך (שתי); $A \cup B$ = איחוי (אחת או שתי); $A'$ = משלים
- $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — הפחת את החפיפה
- דיאגרמות ון מראות בקשרים קבוצתיים באופן ויזואלי; המלבן הוא הקבוצה האוניברסלית
- $\emptyset$ = קבוצה ריקה; $\xi$ = קבוצה אוניברסלית