סוגי מספרים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| rational/ˈræʃənl/ | מספר רציונלי |
| irrational/ɪˈræʃənl/ | מספר אי-רציונלי |
| natural numbers/ˈnætʃərəl ˈnʌmbəz/ | מספרים טבעיים |
| integers/ˈɪntɪdʒəz/ | מספרים שלמים |
| factor/ˈfæktə/ | גורם |
| multiple/ˈmʌltɪpl/ | כפולה |
| prime/praɪm/ | מספר ראשוני |
| prime factorisation/praɪm ˌfæktəraɪˈzeɪʃn/ | פירוק לגורמים ראשוניים |
| HCF/ˌeɪtʃ siː ˈef/ | הגורם המשותף הגדול ביותר |
| LCM/ˌel siː ˈem/ | המכפלה המשותפת הקטנה ביותר |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | הופך |
שאלה שהטרידה את היוונים העתיקים
- האם כל מספר הוא שבר? היוונים חשבו כן — עד שאיזה מישהו הוכיח כי $\sqrt{2}$ לא ניתן להכתב כ$\dfrac{a}{b}$.
- אגדת המצפן מספרת שמגלה ההכנסה הושלך מעל סיפון הסירה בגלל חשיפת האמת המציקה הזו.
- היום אנו מחלקים מספרים למשפחות, והפיצול הזה — רציונלי מול אי-רציונלי — עדיין הגדול ביותר.
משפחות המספרים
- מספרים טבעיים $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ — מספרי הספירה (חלק מההגדרות כוללות $0$).
- שלמים $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ — מספרים שלמים, חיוביים, שליליים ואפס.
- מספרים רציונליים $\mathbb{Q}$ — כל דבר שיכול להיות כתוב כ$\dfrac{a}{b}$ כאשר $a, b$ הם שלמים ו$b \neq 0$.
- מספרים אי-רציונליים — הכל השאר ($\pi$, $\sqrt{2}$, $e$): לא ניתן לבטא them כשבר.
טבעיים → שלמים → רציונליים, כל אחד משפחה גדולה יותר. מספרים אי-רציונליים מתגוררים מחוץ.
קבוצות מספרים
כל מספר חיובי שלמה הוא גם מספר שלם, וכל מספר שלם הוא רציונלי — ראו כיצד קבוצות המספרים משתלבות זו בתוך זו, וכיצד איחוד וחיתוך משלבים אותן.
התאימו כל מספר למשפחת המספרים הקטנה ביותר שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
−5 ו-0 הם מספרים שלמים (מספרים שלמים, כולל שליליים). 3/7 הוא רציונלי (שבר של מספרים שלמים). √3 הוא אי-רציונלי (לא ניתן לכתוב כ-a/b).
גורמים, מכפלות ומספרים ראשוניים
- גורם של $n$ מחלק אותו ב$n$ בדיוק. גורמים של $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
- מכפלה של $n$ היא $n \times$ מספר שלם. מכפלות של $5$: $5, 10, 15, 20, \dots$.
- מספר ראשוני יש לו בדיוק שני גורמים: $1$ ועצמו.
- $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ אינם ראשוניים. $1$ אינו ראשוני (גורם אחד בלבד).
1 אינו ראשוני. מספר ראשוני חייב להיות לו שני גורמים שונים בדיוק. ל-$1$ יש רק גורם אחד (עצמו), ולכן הוא אינו עומד בהגדרה.
כל מספר טבעי הוא שלם, כל מספר שלם הוא רציונלי, וכל מספר רציונלי הוא ממשי; מספרים אירציונליים כמו $\pi$ ו-$\sqrt{2}$ הם ממשיים אך לא רציונליים
איזו מהמספרים הבאים הוא מספר ראשוני?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ל-13 יש בדיוק שני מחלקים (1 ו-13). 1 אינו ראשוני; 9 = 3×3; 15 = 3×5.
המספר 1 הוא מספר ראשוני.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ל-1 יש גורם אחד בלבד (עצמו). מספר ראשוני חייב להכיל בדיוק שני גורמים שונים.
המספר הראשוני הקטן ביותר הוא ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
2 הוא המספר הראשוני הקטן ביותר (והיחיד הזוגי).
פירוק לגורמים ראשוניים, HCF ו-LCM
- כתוב כל מספר כמכפלה של מספרים ראשוניים: $72 = 2^3 \times 3^2$, $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.
- HCF (גורם משותף הגדול ביותר): קח את החזקה הנמוכה ביותר מכל ראשוני משותף.
- HCF של $72$ ו-$120$ $= 2^3 \times 3 = 24$.
- LCM (מכפלת משותפת הקטנה ביותר): קח את החזקה הגבוהה ביותר מכל ראשוני המופיע.
- LCM של $72$ ו-$120$ $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$.
המשך לפצל עד שכל ענף נסתיים על ראשוני (מקושר); איסוף שלהם נותן $72 = 2^3 \times 3^2$
בדיקה מהירה. HCF × LCM צריך להתאים ל מכפלת שני המספרים: $24 \times 360 = 8640$ ו-$72 \times 120 = 8640$. ✓
מצאו את המק"מ של 72 ו-120. (72 = 2׳×3ײ, 120 = 2׳×3×5)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קחו את החזקות המשותפות הנמוכות ביותר: 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
מצאו את המק"מ של 72 ו-120.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
לקחו את החזקות הגבוהות ביותר: 2^³ × 3^² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360.
עובדה מעניינת
- יש אינסוף מספרים ראשוניים (אוקליד הוכיח זאת סביבות 300 לפנה"ס).
- המספר הראשוני הגדול הידוע כיום (נכון לשנת 2024) כולל יותר מ-41 מיליון ספרות — זהו $2^{136{,}279{,}841} - 1$, מספר מרזן.
הופכים וערך מיקומי
- ההופכי של מספר אי-אפס כופל אותו לתוצאה 1: עבור $3/7$ הוא $7/3$, מכיוון ש$(3/7)(7/3)=1$. למספר אפס אין הופכי.
- קבץ מספרים גדולים באגפים של אלפי: 6000042 הוא ששת מיליון וארבעים ושניים. $6\,000\,042=6(1\,000\,000)+42$; האפסים מחזיקים את ערכי המיקום החסרים.
מצאו את ההופכי של 5/9.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ההופכי הוא 9/5 = 1.8; כפילו ב-5/9 כדי לקבל 1.
הבנתך מושלמת
- טבעי $\mathbb{N}$ → שלם $\mathbb{Z}$ → רציונלי $\mathbb{Q}$; מספרים אירציונליים נמצאים מחוץ לכך
- ראשוני = בדיוק שני גורמים ($1$ אינו ראשוני)
- HCF = חזקות ראשוניות משותפות נמוכות; LCM = חזקות ראשוניות גבוהות לכל ראשוני
- $72 = 2^3 \times 3^2$, $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ → HCF $24$, LCM $360$