התפלגות דגימה של x-bar
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sample mean/ˈsæmpl miːn/ | ממוצע דגימה |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | שגיאה תקנית |
חלוקת x-bar
- ממוצע מדגמה $\bar{x}$ מעריך את הממוצע האמיתי באוכלוסייה $\mu$.
- חלוקת הדגימה שלו מוכנסת ב$\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (ולכן $\bar{x}$ היא בלי טעות שיטתית).
- כל דגימה נותנת $\bar{x}$ שונה; הפיזור מצטמצם ככל גדל גודל הדגימה.
- זהו הסטטיסטיקה העיקרית לחישוב אינפלנסיה לגבי ממוצעים.
הסטיית התקן
- הסטייה התקנית של $\bar{x}$ היא:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- חלוקת SD האוכלוסייה ב-$\sqrt{n}$ — נקרא לעיתים קרובות שגיאת תקנית.
- ריבוע ה-$n$ והפיזור יורד למחצה (בגלל השורש).
נורמליות באמצעות משפט המספרים הגדולים
- האם $\bar{x}$ נורמלי? שתי דרכים להוכחת זאת:
- אם האוכלוסייה נורמלית, $\bar{x}$ הוא בדיוק נורמלי לכל גודל $n$.
- אחרת, משפט המספרים הגדולים מספק נורמליות מקריבה כאשר $n \ge 30$.
- תמיד ציין איזה נימוק הבעיה שלך מבוססת עליו.
תנאים והסתברויות
- בדוק את התנאי של 10% ($n \le 0.10N$) כשדוגמה ללא החזרה.
- עם נורמליות שמצודקת, סטנדרטי: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- לאחר מכן מצא הסברויות עבור $\bar{x}$ מהנורמל הסטנדרטי.
- זה עונה על השאלה "כמה סביר שהממוצע הדגימתי יהיה הרחוק כל כך מ-$\mu$?"
השתמש ב-$\sigma/\sqrt{n}$, לא ב-$\sigma$, לפיזור ה-$\bar{x}$ — הממוצע הדגימתי משתנה הרבה פחות מאשר ערכי נתונים בודדים. טעות נפוצה היא לחלק ב-$n$ במקום ב-$\sqrt{n}$. וצדק נורמליות במפורש: או אוכלוסייה נורמלית או משפט המספרים הגדולים עם גודל $n$ גדול — אל תניח ש-$\bar{x}$ נורמלי לדגימה קטנה מאוכלוסייה מעוותת.
ממוצע אוכלוסייה $\mu = 100$, SD $\sigma = 20$; לקחת $n = 25$.
- מרכז: $\mu_{\bar{x}} = 100$. סטיית תקן: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → כ-$2.5\%$.
- לכן ממוצע דגימה מעל $108$ הוא לא סביר במיוחד.
ה-ממוצע הדגימתי $\bar{x}$ יש לו $\mu_{\bar{x}} = \mu$ ו-$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. צדק מודל נורמלי או באמצעות אוכלוסייה נורמלית או באמצעות משפט המספרים הגדולים ($n\ge 30$); בדוק את התנאי של 10% כשדוגמה ללא החזרה, ולאחר מכן מצא הסברויות דרך $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
התפלגות הדגימה של x-bar
ממוקמת ב-μ, התפשטות σ/√n (שגיאה סטנדרטית).
σ אוכלוסייה = 20, n = 25. מצא את השונות הסטנדרטית של x-bar, σ/√n.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
20/√25 = 20/5 = 4.
עם μ=100 ושונות סטנדרטית של x-bar = 4, מצא את ציון ה-z עבור x-bar = 108.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
z = (108 − 100)/4 = 2.
השונות הסטנדרטית של ממוצע הדגימה היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלק את σ ב-√n — לא ב-n.
אם האוכלוסייה תכונה נורמלית, x-bar הוא נורמלי לכל גודל דגימה n.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אוכלוסייה נורמלית נותנת x-bar נורמלי בדיוק בכל gודל n.
כדי שהתפלגות הדגימה של x-bar תהיה בעלת התפשטות חצי, עליך...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התפשטות ∝ 1/√n, ולכן הכפלה פי 4 של n מקטינה את השונות הסטנדרטית לחצי.