התפלגות דגימה של p-hat
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/ | יחס דגימה |
| large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/ | תנאי הספירות הגדולות |
| 10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/ | תנאי 10% |
חלוקת p-hat
- פרופורציה מדגמה $\hat{p}$ מעריכה את הפרופורציה האמיתית באוכלוסייה $p$.
- חלוקת הדגימה שלו מוכנסת ב$p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (ולכן $\hat{p}$ היא בלי טעות שיטתית).
- דגימות שונות נותנות $\hat{p}$ שונות – ההתפוצה היא מה שאנו מכימים בשלב הבא.
- בתנאים הנכונים, חלוקה זו היא בקירוב נורמלית.
הסטיית התקנית שלה
- הסטייה התקנית של $\hat{p}$ היא:
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- $n$ גדול יותר → התפוצה קטנה יותר → הערכה מדויקת יותר (ה-$\sqrt{n}$ במכנה).
- זהו מודד למרחק הקלאסי של $\hat{p}$ מה-$p$ האמיתי.
תנאי המניות הגדולות
- כדי להשתמש במודל נורמלי עבור $\hat{p}$, יש לבדוק את תנאי המניות הגדולות:
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- במילים: צפו לפחות $10$ הצלחות וגם לפחות $10$ כישלים.
- אם אחד מהספירות נמוך מ$10$, ההתפלגות הדגימה תהיה מעוותת מדי עבור המודל הנורמלי.
תנאי ה-10%
- כאשר דוגמה מתבצעת ללא החזרה, בדקו את תנאי ה-10% 10%.
- גודל הדגימה חייב להיות לא יותר מ$10\%$ מאוכלוסיית האם: $n \le 0.10 N$.
- זאת שומרת על ניסויים "קרובים מספיק" לחינם כדי שהנוסחה לסטיית התקן תקף.
- פיסה קטנה מאוכלוסייה גדולה משתנה מעט מאוד כשדוגמים ממנה.
שני תנאים שונים מבצעים עבודות שונות. תנאי הספירות הגדולות ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) מצדיק את הצורה הנורמלית; תנאי ה-10% ($n\le0.10N$) מצדיק את החינם העומד מאחורי נוסחת סטיית התקן. בדקו שניהם לפני בניית מודל $\hat{p}$ כנורמלי — התעלמות מאחד מהם מבטלת את המסקנות הבאות.
$p = 0.4$ מאוכלוסיית האם תומכים בתוכנית; דוגמתם $n = 100$.
- מרכז: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. סטיית תקן: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
- ספירות גדולות: $np = 40 \ge 10$ ו$n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ הנורמליות מותרת.
- 10%: בסדר כל עוד האוכלוסייה עולה על $1000$.
היחס בדגימה $\hat{p}$ בעל $\mu_{\hat{p}} = p$ ו$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. מדגמו אותו כנורמלי כאשר מתקיים תנאי הספירות הגדולות ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$); כאשר הדגימה היא ללא החזרה, בדקו גם את תנאי ה-10% ($n \le 0.10N$).
ההתפלגות הדגימה של p-hat
ממוקדת ב-p, עם שונות √(p(1−p)/n); נורמלית בתנאי ספירות גדולות.
p = 0.4, n = 100. חשב את σ של p-hat = √(p(1−p)/n). עגל לשתי ספרות אחרי הנקודה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(0.4·0.6/100) = √0.0024 ≈ 0.049 ≈ 0.05.
תנאי הספירות הגדולות למודל נורמלי של p-hat דורשים...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לפחות 10 הצלחות צפויות AND 10 כישלונים צפויים.
הממוצע של ההתפלגות הדגימה של p-hat שווה לפרופורציה האמיתית p.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
μ(p-hat) = p, ולכן p-hat הוא ללא שיפול.
בעת דגימה ללא החזרה, תנאי ה-10% מחייב...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גודל הדגימה חייב להיות עד 10% מאוכלוסיית המחקר.
הגדלת n מקטינה את סטיית התקן של p-hat.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n נמצא תחת השורש, ולכן הגדלת n מובילה להצטמצמות ההתפזרות.