הערכות מוטות ואי-מוטות

מילון מונחים

English	משמעות
point estimate/pɔɪnt ˈestɪmət/	הערכת נקודה
unbiased/ʌnˈbaɪəst/	בלתי-אנוס

הערכת הפרמטר

הערכה נקודתית היא מספר יחיד מתוך דגימה המשמש להערכת פרמטר.
$\bar{x}$ מעריך $\mu$; $\hat{p}$ מעריך $p$; $s$ מעריך $\sigma$.
זו ההערכה היחידה הטובה ביותר שלנו — אך מדובר רק בערך אחד מתוך סטטיסטיקה משתנה.
האיכות של מעריכה תלויה בנקודה שבה הוא מתמקד ובמידה שבה הוא משתנה.

מהו "אי-שיפוע"

מעריכה היא לא-שיפועית אם התפלגות הדגימה שלה מתמקדת בפרמטר האמיתי.
"מתמקדת" אומר שהמוצע של המעריך שווה לפרמטר.
בממוצע, לאורך דגימות רבות, מעריך לא-שיפועי פוגע במטרה.
$\bar{x}$ ו-$\hat{p}$ הם מעריכים לא-שיפועיים של $\mu$ ו-$p$.

מרכז = שיפוע

שיפוע עוסק ב-מרכז התפלגות הדגימה, ולא בכל הערכה בודדת.
אם ממוצע המעריך ממוקם מרחק מהפרמטר, הוא שיפועי — באופן שיטתי גבוה מדי או נמוך מדי.
מעריך לא-שיפועי עשוי לפספס בדגימה בודדת (זוהי השונות, לא שיפוע).
יש לבקש תחילה מעריך המתמקד במקום הנכון.

השונות מצטמצמת עם n

השונות של מעריך (כמה הוא זז סביב) צומחת ככל ש-$n$ גדל.
דגימות גדולות יותר → חלוקת דגימה צרה יותר → הערכות מדויקות יותר.
טעות שיטתית ושינוייות הם יעדים נפרדים: לפגוע במרכז, וגם לשמור על התפוצה קטנה.
המעריך האידיאלי הוא בלי טעות שיטתית ועם שינוייות נמוכות.

Watch out

טעות שיטתית ושינוייות הן דברים שונים. טעות שיטתית עוסקת במרכז החלוקה (האם היא פוגעת במטרה?); שינוייות עוסקת בהתפוצה שלה (כמה ההערכות זזות?). גודל דגימה גדול מצמצם שינוייות אך אינו מתקן טעות שיטתית – מתודולוגיה מעוורת נשארת מחוץ למרכז בכל $n$ (חוזר ליחידה 3).

Example

הערכת ממוצע אוכלוסייתי $\mu = 100$.

$\bar{x}$ הוא בלי טעות שיטתית: הממוצע של חלוקת הדגימה שלו הוא בדיוק $100$.
עם $n = 25$ ההערכות מתפצות רחוק; עם $n = 400$ הן מצטופפות בחוזקה סביב $100$.
אותו מרכז (בלי טעות שיטתית), שינוייות קטנה יותר – הערכה טובה יותר.

Key idea

הערכת נקודה היא ניחוש מספר יחיד של פרמטר (למשל, $\bar{x}$ עבור $\mu$). מעריך הוא בלי טעות שיטתית כאשר המרכז של חלוקת הדגימה שלו שווה לפרמטר. טעות שיטתית עוסקת במרכז זה; שינוייות עוסקת בהתפוצה ומצטמצמת ככל ש$n$ גדל – אך דגימה גדולה לעולם לא מסירה טעות שיטתית.

חקור