התפלגות גיאומטרית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | גיאומטרי |
| geometric random variable/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | משתנה רנדומלי גיאומטרי |
המתנה להצלחה הראשונה
- ההתפלגות הגיאומטרית סופרת ניסויים עד להצלחה הראשונה.
- משתנה אקראי גיאומטרי $X$ = מספר הניסויים לקבלת הצלחה ראשונה.
- דוגמה: כמה יידועים של קוביה עד שתקבל שש?
- לעומת הבינומי, $n$ אינו קבוע — אתה מפסיק ברגע שהצלחת.
המצב הגיאומטרי
- אותם תנאי ניסוי כמו בבינומי, אך כלל עצירה שונה:
- חזרה על ניסויים בלתי תלויים, שכל אחד מהם עם אותה הסתברות $p$ להצלחה.
- ממשיכים עד להצלחה הראשונה, ואז עצורים.
- "עד להצלחה ראשונה" היא המילה המפתח לגיאומטרית.
הנוסחה הגיאומטרית
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- כדי להצליח לראשונה בניסוי $k$: כשל במแรก $k-1$ פעמים, ואז להצליח.
- $(1-p)^{k-1}$ = הכשלים האלו; $p$ = ההצלחה בניסוי $k$.
- ההסתברויות קטנות ככל ש-$k$ גדל — הצלחה מוקדמת היא הסבירה ביותר.
הממוצע הגיאומטרי
- ה-ממוצע (המספר הצפוי של ניסויים) הוא:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- אם $p = 0.2$, צפו ל-$1/0.2 = 5$ ניסויים בממוצע עד להצלחה ראשונה.
- הצלחות נדירות ($small$p$) פירונו שהמתנה תהיה ארוכה יותר — זה עשוי הגיון.
ההבדל בין גיאומטרית לבינומי נובע מכלל העצירה. בינומי: $n$ קבוע, סופרים הצלחות. גיאומטרית: רצים עד להצלחה הראשונה, סופרים ניסויים. אם הבעיה קובעת את מספר הניסויים, זו בינומית; אם כתוב "עד להצלחה הראשונה…", זו גיאומטרית. והממוצע הגיאומטרי הוא $1/p$ — לא $np$.
גורשים קוביה עד לשש ראשונה; $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — שש ראשונה ב$3$ תור.
- תוחית: צפויים $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ תורים עד לקבלת שש ראשונה.
- זה הגיוני – שש יוצאת בממוצע פעם אחת בכל שישה תורים.
משתנה אקראי גיאומטרי סופר ניסויים עד להצלחה הראשונה, עם ניסויים עצמאיים ב$p$ קבוע. אז $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ וה-תוחית היא $\mu_X = \frac{1}{p}$. ההבדל המרכזי מ-בינומי: גיאומטרי נמשך עד להצלחה הראשונה (מספר משתנה של ניסויים), בינומי יש לו מספר קבוע של $n$.
זריקה עד להצלחה הראשונה
ממשיכים לזרוק עד שהמטרה תופיע — זהו ספירה גיאומטרית.
משתנה גיאומטרי יש לו p = 0.2. מצאו את הממוצע של מספר הניסויים, 1/p.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p = 1/0.2 = 5.
איזה מצב הוא גיאומטרי (ולא בינומי)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
'עד להצלחה הראשונה' → גיאומטרי; n קבוע → בינומי.
זרקו קובייה עד לקבלת שש ראשונה (p = 1/6). מצאו את הממוצע של מספר הזריקות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p = 1/(1/6) = 6.
בנוסחת ההסתברות P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p, החלק (1−p)^(k−1) מייצג את k−1 הכישלונות הראשונים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להכשל k−1 פעמים, ואז להצליח בניסוי ה-k.
הממוצע של משתנה מקרי גיאומטרי הוא 1 חלקי ___ (האות המייצגת את הסתברות ההצלחה).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p.