פרמטרים של Binomial
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parameters/pəˈræmɪtəz/ | פרמטרים |
הממוצע הבינומי
- עבור משתנה בינומי, לממוצע יש נוסחה פשוטה ויפה:
-
$$\mu_X = np$$
- מספר הניסויים כפול בסיכוי ההצלחה — המספר המצופה של הצלחות.
- מכנס מטבע $100$ פעמים: צפויות ל-$\mu_X = 100 \times 0.5 = 50$ ראשים.
סטיית התקן הבינומית
- סטיית התקן היא:
-
$$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$$
- היא מדדה עד כמה מספר ההצלחות משתנה באופן טיפוסי.
- שני פרמטרים אלו ($\mu_X$, $\sigma_X$) מסכמים את כל החלוקה הבינומית.
הצורה
- ה-צורה תלויה ב-$p$: ב-$p = 0.5$ החלוקה היא סימטרית.
- $p < 0.5$ → שיפוע ימינה; $p > 0.5$ → שיפוע שמאלה.
- ככל ש-$n$ גדל, הצורה נעשית יותר סימטרית ודמויי פעמון (גם עבור $p$ בעל שיפוע).
- צורה זו הקרובה לנורמלית עבור ערכים גדלים של $n$ מהווה את הבסיס להסקות במודולים מאוחרים יותר.
פרשנות בהקשר
- יש לציין תמיד את הפרמטרים בשפת הבעיה עצמה.
- $\mu_X$: "אנו מצפים לכ-$np$ הצלחות בממוצע."
- $\sigma_X$: "מספר ההצלחות משתנה באופן טיפוסי בכ-$\sigma_X$."
- למספרים אין הרבה משמעות עד שהם קשורים לחלק הממשי של המצב.
הנוסחאות המסודרות $\mu=np$ ו$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ הן רק עבור ההגדרה הבינומית — אל תשתמש בהן למשתנה אקראי כללי, רק לאחר הבדיקה של תנאי BINS. ושימו לב שהSD משתמש ב$p(1-p)$: היא הגדולה ביותר ב$p=0.5$ וקטנה ככל ש$p$ מתקרבת ל$0$ או ל$1$ ($p$ קיצוני הופך את הספירה לחזוייה יותר).
יריון כדורי עונש מזהיר ב-$p = 0.8$; היא לוקחת $n = 25$ יריות. $X =$ מזהירות.
- ממוצע: $\mu_X = 25 \times 0.8 = 20$ הצלחות צפויות.
- ס"ת: $\sigma_X = \sqrt{25 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2$.
- צורה: $p = 0.8 > 0.5$ → שיפוע שמאלה; עם $n=25$ הצורה דמויי פעמון סבירה.
עבור משתנה בינומי, ה-פרמטרים הם $\mu_X = np$ ו$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$. ה-צורה היא סימטרית ב$p=0.5$, עקומה בכל שאר המקרים, ומזכירה פעמון ככל ש$n$ גדל. תמיד פרשנו $\mu_X$ ו$\sigma_X$ בהקשר — הצלחות מצופות ותנודתן האופיינית.
צורת התפלגות Binomial
עם p ≠ 0.5 ההתפלגות היא מעוותת; ככל ש-n גדול יותר, כך היא נראית יותר כמו פעמון.
ל-Binomial נתון n = 25, p = 0.8. מצא את הממוצע np.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = np = 25 × 0.8 = 20.
עבור n = 25, p = 0.8, מצא את סטיית התקן √(np(1−p)).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(25·0.8·0.2) = √4 = 2.
התפלגות Binomial סימטרית בדיוק כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p = 0.5 נותנת התפלגות סימטרית.
ככל ש-n עולה, ההתפלגות ה-Binomial הופכת לצורה כמו פעמון (יותר סימטרית).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n גדול מניע את הצורה לכיוון הנורמלית.
סטיית התקן של Binomial √(np(1−p)) היא הגדולה ביותר כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p(1−p) מגיע לשיא ב-n=0.5.