החלוקה הבינומית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| binomial/baɪˈnəʊmɪəl/ | דו-מונונית |
| binomial random variable/baɪˈnəʊmɪəl ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | משתנה רנדומלי דו-מונוני |
| binomial setting/baɪˈnəʊmɪəl ˈsetɪŋ/ | סביבת דו-מונונית |
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | גיאומטרי |
ספירת הצלחות
- החלוקה בינומית סופרת הצלחות במספר קבוע ניסיונות.
- משתנה רנדומלי בינומי $X$ = מספר ההצלחות ב-$n$ ניסיונות.
- לדוגמה: מספר פנים ב-$10$ השלכות מטבע, או מענה נכון ב-$5$ שאלות.
- זו אחת החלוקות היעילות ביותר בכל הסטטיסטיקה.
תנאי BINS
- ארבעה תנאים מגדירים את ההגדרה הבינומית (זכרו את המילה BINS):
- Binary — כל ניסיון הוא הצלחה/כישלון. Independent — הניסיונות אינם משפיעים זה על זה.
- Number — מספר קבוע של ניסיונות $n$. Same — קבוע הסתברות $p$ בכל ניסיון.
- חייב להתקיים כל אחד מארבעת התנאים, אלא אם כן מדובר בחלוקה בינומית.
נוסחת הבינומית
-
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$$
- $\binom{n}{k}$ סופר את הדרך להניח $k$ הצלחות מתוך $n$ ניסויים.
- $p^k$ הוא הסיכוי עבור $k$ ההצלחות הללו; $(1-p)^{n-k}$ מייצג את $n-k$ הכישלונות.
- כפולו את מספר הארגונים בסיכוי של כל אחד מהם.
בינומי לעומת גיאומטרי
- בינומי: $n$ קבוע; סופרים כמה הצלחות יש.
- גיאומטרי: ממשיכים עד להצלחה הראשונה; סופרים כמה ניסויים לקח.
- מספר קבוע של ניסויים → בינומי; "עד להצלחה ראשונה" → גיאומטרי.
- זיהוי הסביבה שבה אנו נמצאים הוא השלב הראשון בכל בעיה.
בדקו את ארבע תנאי BINS לפני השימוש בנוסחה — במיוחד עצמאות ו-$p$ קבוע. משיכת קלפים ללא החזרה פוגעת בשניהם ($p$ משתנה, הניסויים תלויים זה בזה), ולכן זה לא בינומי. ואל תבלבו בין בינומי לגיאומטרי: לבינומי יש $n$ קבוע; הגיאומטרי ממשיך עד להצלחה הראשונה.
מבחן רב-ברירה: $5$ שאלות, מענים באופן אקראי, $p = 0.25$ נכון בכל שאלה. $X =$ מספר נכון.
- BINS? בינארי (נכון/לא נכון), עצמאי, $n=5$ קבוע, אותו $p=0.25$. ✓ בינומי.
- $P(X = 2) = \binom{5}{2}(0.25)^2(0.75)^3 = 10 \times 0.0625 \times 0.4219 \approx 0.264$.
- אז יש כ-$26\%$ סיכוי בדיוק ל-$2$ נכון.
משתנה מקרי בינומי סופר הצלחות בתוך $n$ ניסויים קבועים, תוקף כאשר תנאי BINS מתקיימים (Binary, Independent, fixed Number, Same $p$). אז $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. סביבה בינומית היא בעלת $n$ קבוע; סביבה גיאומטרית היא הממשיכה עד להצלחה הראשונה.
חלוקה בינומית
העמודות מציגות P(X=k) עבור הצלחות ב-n ניסויים.
איזה מֵהם אינו אחד מארבעת תנאי החלוקה הבינומית (BINS)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
BINS = Binary (זוגי), Independent (בלתי תלוי), fixed Number (מספר קבוע), Same p (אותו p). אינו נדרש דגימה אקראית.
שליפת קלפים בלי החזרה היא לא בינומית בעיקר כי...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ללא החזרה מפעיל את קבועיות p ואת העצמאות.
כמה דרכים יש לקבל 2 הצלחות ב-5 ניסויים? חשב C(5,2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C(5,2) = 10.
הגדרה גיאומטרית סופרת ניסויים עד ההצלחה הראשונה, בניגוד ל-Binomial עם n קבוע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n קבוע → Binomial; עד ההצלחה הראשונה → גיאומטרי.
המונח הקלישי לתנאי ה-Binomial הארבע הם ___ (ארבע אותיות).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
דו-ערך, עצמאות, מספר קבוע, אותו p.