שילוב משתנים אקראיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | טרנספורמציה ליניארית |
קנה מידה והזזה
- המרה ליניארית $aX + b$ מקנה קנה מידה פי $a$ והזזה פי $b$.
- ממוצע: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — גם הקנה מידה וגם ההזזה מתבצעים.
- סטיית תקן: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — הקנה מידה מרחיב את הפיזור; ההזזה אינה.
- הוספת קבוע מזיזה את המרכז אך משאירה את הפיזור ללא שינוי.
ממוצעים של סכומים והפרשים
- ממוצעים תמיד נוספים (או מחוסרים), ללא תנאים:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- ערכים צפויים משתלבים ליניארית, בין אם המשתנים עצמאיים ובין אם לא.
- זהו החלק הקל, תמיד נכון, של הכללים.
סטיית תקן של סכומים והפרשים
- שונות נוספות עבור משתנים עצמאיים — גם עבור הפרש:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- אחר כך $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- שים לב ל**$+$**: אנו מוסיפים שונות גם כאשר מחסירים את המשתנים.
שילוב נורמליים עצמאיים
- סכום או הפרש של משתנים רנדומליים נורמליים בבלתי תלויים הוא גם כן נורמלי.
- הממוצע והסטיית התקן מגיעים מהכללים לעיל ($\mu$ נוספים/נחסרים; השונות נוספת).
- לכן ניתן למצוא הסתברויות עבור המשתנה המשולב באמצעות המודל הנורמלי.
- הדבר מאפשר לפתור שאלות רבות דו-משתנות בשלב אחד ברור.
שתי מלכודות. (1) כאשר אתה חותך משתנים, עדיין מוסיפים את השונות שלהם ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — לעולם לא מחסרים שונות. (2) לעולם אל תוסיפו סטיות תקן ישירות ($\sigma_X+\sigma_Y$ שגוי); יש להוסיף את השונות ולאחר מכן לחשב שורש ריבועי. כלל זה מחייב שהמשתנים יהיו בלתי תלויים.
$X$ (ממוצע $10$, סטיית תקן $3$) ו-$Y$ (ממוצע $4$, סטיית תקן $4$) הם בלתי תלויים.
- הממוצע של $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- השונות: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (מוסיפים, גם עבור הפרש).
- סטיות התקן של $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
המרה ליניארית: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ אך $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (הזזות אינן משפיעות על התפוצות). הממוצעים נוספים/נחסרים תמיד; עבור משתנים בלתי תלויים השונות נוספת ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — גם עבור הפרש. שילוב של נורמליים בבלתי תלויים הוא נורמלי.
משתנה נורמלי משולב
סכום/הפרש של נורמלים עצמאיים הוא בעצמו נורמלי.
X יש ממוצע 10, Y יש ממוצע 4. מצאו את הממוצע של X − Y.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הממוצעים מחוסרים: 10 − 4 = 6.
ל-X יש סטיית תקן 3, ל-Y יש סטיית תקן 4, והם בלתי תלויים. מצאו את סטיית התקן של X − Y.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שונות מתווספות: 9 + 16 = 25, ולכן SD = √25 = 5.
כאשר מנתעים שני משתנים מקריים בלתי תלויים, מנתעים את השונות שלהם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שונות מתווספות גם בהפרש — לעולם לא מנתעים אותן.
עבור ההמרה 2X + 5, סטיית התקן הופכת ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SD נמדד פי |a| אך ההזזה +5 אינה משפיעה על התפוצץ.
כדי לשלב סטיות תקן של משתנים בלתי תלויים, יש להוסיך את ה-SDs ישירות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוסיפו את השונות, ואז גזרו שורש — אל תוסיפו את ה-SDs.