מוצע ושגיאה סטנדרטית של משתנים אקראיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | ערך צפוי |
| variance/ˈveərɪəns/ | שונות |
הממוצע לטווח ארוך
- הממוצע (או הערך הצפוי) של משתנה אקראי הוא התוצאה הממוצעת בטווח הארוך.
- כתוב כ$\mu_X$ או כ$E(X)$ — נקודת האיזון של ההתפלגות.
- זהו ממוצע משוקל: כל ערך משוקל לפי ההסתברות שלו.
- לאורך חזרות רבות, הממוצע הנקבל מתקרב ל$\mu_X$.
חישוב הממוצע
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- מכפילים כל ערך בהסתברות שלו ואז מחברים הכל together.
- הממוצע אינו חובה להיות ערך אפשרי ("משפחה של $2.5$ ילדים").
- זהו ממוצע, ולא תחזית עבור ניסוי יחיד.
השוואה סטית וסטיית תקן
- השונות $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — הממוצע המשוקל לפי הסתברות של הריבוע המרחק מהממוצע.
- סטיית התקן $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ משיבה אותו ליחידות המקוריות.
- שונות גדולה יותר $\sigma_X$ = התוצאות מפוזרות יותר סביב הממוצע.
- מעלים את הסטיות לריבוע, משקלים לפי ההסתברות, מחברים, ואז נוטים שורש.
פרשנות סטיית התקן
- $\sigma_X$ הוא המרחק האופייני של תוצאה מהממוצע $\mu_X$.
- שונות קטנה $\sigma_X$: התוצئات מצטופפות צמודly סביב הערך הצפוי.
- שונות גדולה $\sigma_X$: התוצאות זזות רחוקly מניסוי לניסוי.
- יחד, $\mu_X$ (מרכז) ו$\sigma_X$ (פיזור) מסכמים את כל ההתפלגות.
הערך הצפוי הוא ממוצע לטווח ארוך, לא תוצאה מובטחת או אף אפשרית. $E(X)=2.5$ ילדים הם הממוצע על פני משפחות רבות, ולא שכל משפחה יש $2.5$ ילדים. והשתמש בשונות כדי לחשב את סטיית התקן: קודם העלה בהערכה בריבוע, כולל במשקל, חבר, ולאחר כך קח שורש — אל תחשב ממוצע של המרחקים המקוריים.
משחק: מנצח $5$ דולרים עם הסתברות $0.2$, אחרת מנצח $0$. נסמן $X$ את הניצחון.
- ממוצע: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ דולר — התשלום הממוצע לטווח ארוך.
- שונות: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- סטיית תקן: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ דולרים — המרחק האופייני מה$1$ הממוצע.
הממוצע (הערך צפוי) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ הוא הממוצע לטווח ארוך — ממוצע משוקלל-סיכון שאינו חייב להיות ערך אפשרי. השונות $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ וסטיית התקן $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ מדדות את המרחק האופייני של תוצאה מה$\mu_X$.
משקל ערכים לפי הסיכון
הממוצע הוא נקודת האיזון של ההתפלגות המשוקלת הזו.
X זוכה ב-5 עם סיכון 0.2, אחרת ב-0. מצאו את הממוצע E(X) = 5(0.2)+0(0.8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5(0.2) + 0(0.8) = 1.
עם ממוצע 1: השונות = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). לאחר מכן מצאו את הסטיית התקן.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שונות = 3.2 + 0.8 = 4, ולכן SD = √4 = 2.
הערך הצפוי של משתנה אקראי חייב להיות אחד מהערכים האפשריים שלו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו ממוצע לטווח ארוך — למשל, 2.5 ילדים — ואינו חייב להיות גיאומטרית אפשרי.
סטיית התקן של משתנה אקראי מדדאת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SD = פיזור טיופי סביב הממוצע.
הממוצע של משתנה אקראי מכונה גם הערך ה___ שלו (מילה אחת).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ממוצע = ערך צפוי = ממוצע לטווח ארוך.