אירועים עצמאיים

מילון מונחים

English	משמעות
independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/	אירועים בלתי תלויים

כאשר ידע באחד לא מספק מידע

שני אירועים הם בלתי תלויים אם קיום אחד לא משנה את ההסתברות של השני.
רשמית: $P(A \mid B) = P(A)$ – התנאי אינו משנה דבר.
השלכות מטבע בלתי תלויות: התוצאה הראשונה לא מספקת מידע כלשהו לגבי השנייה.
אם ידע ב$B$ משנה את $P(A)$, האירועים הם תלויים.

הקיצור להכפלה

עבור אירועים בלתי תלויים, כלל ההכפלה מתפשט:
$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$$
מכיוון ש-$P(A \mid B) = P(A)$, התנאי נופל — פשוט כפל.
הכלל "וגם = כפול" תקף רק כאשר האירועים בלתי תלויים.

בלתי תלוי ≠ סותרים זה את זה

רעיונות אלו הם ניגוד ולא סינונימים — טעות נפוצה.
סותרים זה את זה: אינם יכולים להתרחש יחד ($P(A \cap B) = 0$).
בלתי תלויים: הם יכולים להתרחש יחד, ואחד אינו משפיע על השני.
למעשה, שני אירועים בעלי הסתברות אי-אפס שהם זרים הם תמיד תלויים.

שילוב כללים

בעיות מורכבות משלבות את כלל ה-חיבור וכלל ה-הכפלה ברצף.
"לפחות אחד" קל לרוב דרך משלים: $1 - P(\text{none})$.
$P(\text{none}) = P(\text{not }A)\,P(\text{not }B)\cdots$ עבור אירועים בלתי תלויים.
פצל את האירוע ל-"וגם" (כפול) ו-"או" (חבר), צעד אחר צעד.

Watch out

בלתי תלויים וסותרים זה את זה אינם אותו דבר — הם ניגודים. אירועים זרים לא יכולים להתקיים יחד, ולכן הידיעה שאחד התרחש מגלה שהשני לא התרחש — זו תלות מקסימלית. השתמש ב-$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ רק לאחר ש-בדקת תלות; לעולם אל תניח זאת רק כי הבעיה מספקת לך $P(A)$ ו-$P(B)$.

Example

הטל מטבע הוגן פעמיים (הטלות בלתי תלויות).

$P(\text{two heads}) = P(H)\,P(H) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$.
$P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no heads}) = 1 - 0.5 \times 0.5 = 0.75$.
המשלים הופך "או" מבולגן ל-"וגם" מסודר.

Key idea

אירועים הם בלתי תלויים כאשר $P(A \mid B) = P(A)$; אז $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ (כפול). זה לא אותו דבר כמו סותרים זה את זה (שהוא אומר $P(A\cap B)=0$) — הם ניגודים. שלב את כללי ה-חיבור וה-הכפלה עבור אירועים מורכבים, לעיתים קרובות באמצעות המשלים עבור "לפחות אחד".

חקור