שיפור ריבועים מינימליים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| least-squares line/liːst skweəz laɪn/ | קו פחות-הריבועים |
| coefficient of determination/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv dɪˌtɜːmɪˈneɪʃn/ | מקדם קביעה |
מדוע "ריבוי סכומי השאריות המינימלי"?
- ייתכן ש多条 קווים יעברו דרך ענן נקודות — איזה הכי טוב?
- הקו בריבוי סכומי השאריות המינימלי הוא זה שמפחית את סכום ריבועי השאריות למינימום האפשרי.
- הריבוע שומר על השאריות חיוביות ועונש סטיות גדולות באופן משמעותי יותר.
- הפחתת סכום זה היא מה שמגדיר במדויק את השיפוע ואת החיתוך היחידים של ההתאמה הטובה ביותר.
r-squared: חלק מהשתנות שהוסבר
- מקדם הקביעה $r^2$ הוא החלק משתנות ה$y$ שהוסבר על ידי הדגם.
- זו בפועל ריבוע הקורלציה, ולכן $0 \le r^2 \le 1$.
- $r^2 = 0.64$ אומר "$64\%$ מהשתנות ב$y$ מוסבר על ידי הקשר הליניארי עם $x$."
- שאר הסטייה ($36\%$) נובעת מגורמים אחרים והתפזורות.
: טעות תחזית אופיינית
- סטית התקן של שאריות $s$ היא גודל הטעות באחזיות האופייני.
- היא ביחידות של $y$: "התחזיות שונות באופן אופייני בכ-$s$."
- $s$ קטן יותר = התאמה הדוקה יותר; $s$ גדול יותר = תחזיות רופפות יותר.
- $s$ משיב על "כמה הרחקה, ביחידות אמיתיות?" בעוד ש$r^2$ משיב על "איזה חלק מוסבר?"
שיפוע מתוך סטטיסטיקת סיכום
- ניתן לבנות את הישר מתוך סטטיסטיקת סיכום ללא הנתונים המקוריים:
- שיפוע: $b = r\dfrac{s_y}{s_x}$ — המגמה (correlation) מכווננת ביחס בין התפוצים.
- חיתוך ציר y: הישר תמיד עובר דרך $(\bar{x}, \bar{y})$, ולכן $a = \bar{y} - b\bar{x}$.
- שתי נוסחאות אלו מאפשרות לשחזר את $\hat{y} = a + bx$ מתוך $r$, הממוצעים והסטיית תקן.
אל תבלבו בין שני המספרים. $r^2$ הוא שבר ללא יחידות ("$64\%$ מההשתנות שהוסבר"); $s$ הוא שגיאה אופיינית ביחידות של $y$ ("סטייה של כ-$s$"). וכשאתם מחשבים את השיפוע, שימו לב לסדר: $b = r\,s_y/s_x$ — זהו $s_y$ (פיזור התגובה) על $s_x$ (פיזור ההסבר), ולא להפך.
למוד מתאים יש לו $r = 0.8$, $s_x = 2$, $s_y = 10$, $\bar{x}=5$, $\bar{y}=60$.
- שיפוע: $b = 0.8 \times \dfrac{10}{2} = 4$.
- מקטע חיתוך: $a = 60 - 4(5) = 40$, ולכן $\hat{y} = 40 + 4x$.
- $r^2 = 0.64$: $64\%$ מההשתנות ב$y$ מוסבר על ידי המודל.
הישר פחותי הריבועים מקטין את סכום הריבועים של שאריותיו. $r^2$ היא שבר ההשתנות ב$y$ שהוסבר (ללא יחידות, $0$–$1$); $s$ היא שגיאת התחזוי אופיינית (ביחידות של $y$). מתוך סטטיסתי סיכום, $b = r\dfrac{s_y}{s_x}$ והישר עובר דרך $(\bar{x}, \bar{y})$.
הקו הטוב ביותר בשיטת הריבועים המינימליים
הקו שמקטין את סכום הריבועים של הפער האנכי הכולל לקמינו.
עם r = 0.8, s_x = 2, s_y = 10, מצאו את השיפוע b = r·(s_y/s_x).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
b = 0.8 × (10/2) = 0.8 × 5 = 4.
אם הקורלציה היא r = 0.8, מהי r-squared?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r² = 0.8² = 0.64.
r² = 0.64 מתפרש בצורה הטובה ביותר כ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
r² הוא השבר של השונות ב-y המוסבר.
קו הריבועים הקטנים מינימלי את סכום הערכים המוחלטים של שאריות רבעוניות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זו בדיוק הקריטריון שמגדיר אותו.
אילו גודל מהם הוא שגיאת תחזית אופיינית, הנמדדת ביחידות של y?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
s נמדד ביחידות של y; r² ו-r אינם בעלי יחידות.