ההתפלגות הנורמלית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות נורמלית |
| empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ | חוק ניסויי |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | נורמלי סטנדרטי |
עקומת הפעמון המפורסמת
- משתנים אמריים רבים — גובה, טעויות מדידה, ציוני מבחן — נובעים מתבנית בצורת פעמון.
- ההתפלגות הנורמלית היא עקומת הפעמון האידיאלית, סימטרית סביב מרכזה.
- היא מתוארת לחלוטין על ידי שני מספרים: הממוצע $\mu$ (המרכז) והסטיית התקן $\sigma$ (ההתפלגות).
- מכיוון שכל כך הרבה נתונים נוטים לצורה זו, המודל הנורמלי הוא הכלי המרכזי בסטטיסטיקה.
התפלגות נורמלית מתוארת במלואה על ידי ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שני מספרים: $\mu$ (מרכז) ו-$\sigma$ (פיזור).
הכלל האמפירי (68–95–99.7)
- בהתפלגות נורמלית, הכלל האמפירי מראה כמה מהנתונים נופלים בטווח מספר סטיות תקן מהממוצע:
- כ-$68\%$ בתוך $1$ סטיית תקן מהממוצע.
- כ-$95\%$ בתוך $2$ סטיות תקן; כ-$99.7\%$ בתוך $3$ סטיות תקן.
- שלושת המספרים האלו מאפשרים להעריך פרופורציות ללא מחשבון.
עקומת הפעמון הרגילה
הצלל עקומה נורמלית לפי ציון ז'י — כ-68% נמצאים בתוך 1 סטיית תקן, כ-95% בתוך 2, וכ-99.7% בתוך 3.
כמה אחוזים מההתפלגות הנורמלית נמצאים בתוך $1$ סטיות תקן מהממוצע?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הכלל האמפירי: כ-$68\%$.
כמה אחוזים בקירוב נמצאים בתוך $2$ סטיות תקן מהממוצע?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כ-$95\%$ בתוך $2$ סטיות תקן.
ציוני ז'י והתפלגות נורמלית סטנדרטית
- המרה לכל ערך לציון $z$-z $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ — הרווח שלו מהמוצע במדדים סטנדרטיים.
- ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית היא בעלת ממוצע $0$ וסטיית תקן $1$; כל עקומה נורמלית הופכת אליה לאחר סטנדרטיזציה.
- השתמש בטבלת $z$ (או טכנולוגיה) להמרת ציון $z$ ל-פרופורציה או אחוזי אחוז.
- כך מוצאים "מהו אחוז התוצאות שנקבעו מתחת ל$x$."
עבור $\mu=170$, $\sigma=8$, מצא את ציון ה-$z$ עבור $x=186$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$z=(186-170)/8=2$.
לחלוקה הנורמלית הסטנדרטית יש ממוצע $0$ וסטיית תקן ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
תקנון נותן ממוצע $0$, סטיית תקן $1$.
האם דגם נורמלי סביר?
- לא הכל נורמלי — בדוק לפני שמניחים זאת.
- גרף סימטרי, בצורת פעמון, בעל שיא אחד תומך בדגם נורמלי.
- עיוות חזק, מספר שיאים או אונליינים כבדים מעידים על התאמה לקובה של דגם נורמלי.
- הערך את צורת הנתונים קודם; החוק האמפירי וטבלות $z$ רלוונטיים רק אם ההתפלגות קרובה לנורמלית.
מודל נורמלי הוא התאמה גרועה כאשר הנתונים...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מיטה או פסגות מרובות שוברות את ההנחה הנורמלית.
החוק האמפירי ופרופורציות טבלת $z$ רלוונטיים רק להתפלגויות (קרובות ל)נורמליות — אל תשתמש בהם בנתונים עם עיוות חזק. כמו כן, החוק האמפירי הוא 68–95–99.7 (למדדים סטנדרטיים $1$, $2$, $3$), בסדר זה; ערבוב בין האחוזים הוא טעות נפוצה. תמיד סטנדרטייז עם $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ לפני קריאת הטבלה.
גבהים מתפלגת נורמלי עם $\mu=170$ ס"מ, $\sigma=8$ ס"מ. כמה אחוזים גובהם בין $162$ ל-$178$ ס"מ?
- $162=170-8$ ו$178=170+8$ — בדיוק $1$ מדדים סטנדרטיים מתחת ומעל הממוצע.
- לפי הכלל האמפירי, כ-$68\%$ מגבהים נופלים בתוך $1$ סטיית תקן.
- לכן, כ-$68\%$ נמצאים בין $162$ ל$178$ ס"מ.
ההתפלגות הנורמלית היא פסגת פעמון סימטרית המוגדרת על ידי הממוצע $\mu$ וסטית התקן $\sigma$. הכלל האמפירי (68–95–99.7) מספק פרופורציות בתוך $1$/$2$/$3$ סטיות תקן. סטנדרדיזציה עם ציון-$z$ $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ והשימוש בנורמל הסטנדרטי לפרופורציות מדויקות — אך רק כאשר מודל נורמלי מתאים הגיונית לנתונים.