סטטיסטיקות סיכום למשתנה כמותי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| mean/miːn/ | ממוצע |
| median/ˈmiːdiːən/ | חציון |
| Range/reɪndʒ/ | טווח |
| Standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | סטיית תקן |
| resistant/rɪˈzɪstənt/ | עמיד |
מספרים שמסכמים את הנתונים
- גרף מראה את הצורה; סטטיסטיקות סיכום מצמצמות חלוקה למספר מפתח בודד.
- שתי משימות: למדוד את המרכז (ערך טיפוסי) ואת הפיזור (עד כמה זה משתנה).
- איזה מספרים משתמשים תלוי בצורה — במיוחד האם ישנם ערכים קיצוניים.
- סיכומים אלו הם עמוד השדרה של כל הסטטיסטיקה המסקרנית הבאה.
מדידות מרכזיות
- הממוצע $\bar{x}$ הוא הממוצע החישובי: סכום כל הערכים, חלוקה במספרם.
- המדיום הוא הערך האמצעי כאשר הנתונים מסודרים (ממוצע של שני האמצעיים אם מספרם זוגי).
- עבור התפלגות סימטרית הם קרובים; עבור התפלגות אל-סימטרית הם שונים.
- הממוצע נמשך לעבר הזנב הארוך; המדיום נשאר במקומו.
מרכז ופיזור של נתונים
המוניו והמדiane מסמנים את המרכז; הטווח, IQR והסטיית התקן מודדים את הפיזור.
מצאו את המינוס של $4, 5, 6, 7, 100$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הערך האמצעי בנתונים הממוינים הוא $6$.
ב$4,5,6,7,100$, הממוצע ($24.4$) נמשך כלפי מעלה על ידי הערך $100$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הממוצע רגיש לערכים קיצוניים.
מדידות פיזור
- טווח = מקסימום − מינימום (פשוט, אך רגיש לקצוות).
- IQR (טווח רביעי) $=Q_3-Q_1$ — הפיזור של האמצע $50\%$.
- סטיית תקן $s_x$ — המרחק האופייני של ערכים מהממוצע.
- מספי פיזור גדולים יותר מצביעים על וריאציה גבוהה יותר.
לסט נתונים עם $Q_1=5$ ו$Q_3=7$, מצא את הרביעון.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\text{IQR}=Q_3-Q_1=7-5=2$.
עמידות מול רגישות
- מדיום ו-IQR הם עמידים — ערכים קיצוניים כמעט אינם מזיזים אותם.
- ממוצע ו-סטיית תקן הם רגישים — ערך קיצוני אחד יכול להזיז אותם הרבה.
- לכן עבור נתונים אל-סימטריים או עם ערכים קיצוניים, דווחו על המדיום וה-IQR.
- כלל ערך קיצוני: ערך הוא ערך קיצוני אם הוא מתחת ל$Q_1-1.5\times\text{IQR}$ או מעל $Q_3+1.5\times\text{IQR}$.
אילו מדדים עמידים בפני ערכים קיצוניים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המדiane וה-IQR עמידים בפני ערכים קיצוניים; המוניו וה-SD אינם עמידים.
לפי כלל ה$1.5\times\text{IQR}$, ערך קיצוני גבוה הוא כל ערך הגבוה מ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מדד מהרבעון: $Q_3+1.5\,\text{IQR}$.
עבור נתונים בעלי סטייה חזקה, הסיכום הטוב ביותר עבור מרכז ופיזור הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מדדים עמידים מתאימים לנתונים בעלי סטייה.
התאימו את הסיכום לצורת הנתונים: עבור נתונים אל-סימטריים או ערכים קיצוניים, השתמשו במדיום וב-IQR העמידים — הממוצע והסטיית התקן נמשכים על ידי הקצוות. וכל ה**$1.5\times\text{IQR}$** נמדד מהרביעים ($Q_1,Q_3$), לא מהממוצע: סימנו ערכים מתחת ל$Q_1-1.5\,\text{IQR}$ או מעל $Q_3+1.5\,\text{IQR}$.
נתונים: $4, 5, 6, 7, 100$.
- ממוצע $=\tfrac{4+5+6+7+100}{5}=24.4$ (נמשך למעלה על ידי $100$). מדיום $=6$ (לא מושפע).
- המדיות ($6$) משקפת טוב יותר את הערך האופייני כאן.
- עם $Q_1=5$, $Q_3=7$, $\text{IQR}=2$: $100>7+1.5(2)=10$, כך ש$100$ הוא ערך קיצוני.
קצר מרכז באמצעות מונין $\bar{x}$ או חציון, והתפזרות באמצעות טווח, IQR $=Q_3-Q_1$ או סטיית סתבך $s_x$. החציון וה-IQR עמידים בפני ערכי קיצון; המונין וה-SD אינם — ולכן העדיפו אותם עבור נתונים מעוותים. סימנו ערכי קיצון באמצעות $1.5\times\text{IQR}$.