קצבי שינוי בפונקציות פרמטריות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | שיעור שינוי |
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה פרמטרית |
כמה מהר, ובאיזה כיוון?
- ידועה היכן נמצא כדור בכל רגע היא טובה; ידועה כמה מהר הוא נע היא טובה יותר.
- מהירות וכיוון יחד יוצרים מהירות וקטורית — ושניהם נובעים מקצבי שינוי.
- עם מסלול פרמטרי, אנו שואפים כמה מהר $x$ ו-$y$ משתנים כל אחד לאורך הזמן.
- שני קצבים אלו משתלבים ליצירת מהירות נקודת הנעה.
קצבי השני צירים
- קצב השינוי האופקי הוא $\dfrac{dx}{dt}$ — כמה מהר הנקודה נעה לצדדים.
- הקצב האנכי הוא $\dfrac{dy}{dt}$ — כמה מהר היא נעילה מעלה או מטה.
- עבור פונקציית פרמטרית, אלו הן שתי רכיבי המהירות.
- בתוך מחלקה, הקצב הממוצע הוא $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ או $\dfrac{\Delta y}{\Delta t}$.
נקודה הנעה, $\dfrac{dx}{dt}$ ו$\dfrac{dy}{dt}$ הם ה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב השינוי של כל קואורדינה הוא רכיב מהירות: $dx/dt$ לאורך, $dy/dt$ למעלה.
המהירות היא משיקה למסלול
- אם משלבים את שני הרכיבים, מקבלים חץ מהירות.
- חץ זה מצביע תמיד במשיק לעקומה — בכיוון התנועה הנוכחי.
- חץ ארוך מעיד על תנועה מהירה; קצר מעיד על תנועה איטית.
- מעקב אחרי החצים לאורך המסלול מראה שהגוף מאיץ ומאט.
נקודה בעלת $x = 3t$. מהי קצב השינוי האופקי הממוצע שלה $\Delta x/\Delta t$ בכל מרווח?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון ש$x = 3t$ היא ליניארית, $\Delta x/\Delta t = 3$ בכל מקום — מהירות אופקית קבועה.
ווקטור המהירות מצביע ____ למסלול — לאורך כיוון התנועה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המהירות תמיד משיקה לעקומה, ומצביעה לכיוון בו הגוף נע כרגע.
בחרו את כל ההצהרות הנכונות לגבי קצבי שינוי פרמטריים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קצבים מדדדים שינוי, לא מיקום. השלושה האחרים נכונים.
כאשר הקצב הוא אפס
- אם $\dfrac{dy}{dt} = 0$ לרגע מסוים, התנועה האנכית עוצרה באופן זמני.
- זה בדיוק נקודת העליונה בקשת כדור שזרקו, שם הוא מפסיק לעלות לפני שהוא יורד.
- אם $\dfrac{dx}{dt} = 0$, התנועה האופקית נעצרת — המסלול הוא אנכי לרגע.
- רגעים אלו של קצב אפס מסמנים את נקודות הפנייה בתנועה.
קצב שינוי על עקומה
y = x^2
שיפוע המשיק הוא קצב השינוי; לעקומה פרמטרית הוא (dy/dt) מחולק ב-(dx/dt).
אם $dy/dt = 0$ ברגע מסוים, התנועה האנכית עצרה רגעית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב אנכי אפס פירושו ש$y$ אינו משתנה רגעית — למשל, בראש קשת כדור שנזרק.
פרשנות התנועה
- $dx/dt$ חיובי: תנועה ימינה; שלילי: תנועה שמאלה. אותו עיקרון מתקיים גם אנכית.
- השוו בין שני הקצבים כדי לראות האם הנקודה עולה בחוד או נעה בצד.
- קצבים קבועים משמעם תנועה בקו ישר ובקצב אחיד; קצבים משתנים משמעם כיפוף או האצה.
- הקצבים הופכים את המסלול הסטטי לתיאור מלא של התנועה.
הקצב $dx/dt$ הוא מהירות, ולא מיקום או מרחק. נקודה יכולה להיות רחוקה ממקור הצירים אך נעה לאט, או קרובה אליו אך נעה מהר — המיקום והקצב להשתנות הם עצמאיים זה מזה.
לנקודה יש $x = 3t$ ו-$y = 20t - 5t^2$.
- קצב אופקי: $\dfrac{dx}{dt} = 3$ (קבוע) — מהירות צדדית אחידה.
- קצב אנכי: $\dfrac{dy}{dt} = 20 - 10t$, שהוא $0$ ב-$t = 2$.
- לכן ב-$t = 2$ הכדור אינו עולה ואינו יורד לרגע — זהו נקודת העליונה של הקשת שלו.
בפונקציה פרמטרית, הקצבים $\dfrac{dx}{dt}$ ו-$\dfrac{dy}{dt}$ הם רכיבי המהירות האופקית והאנכית. שילובם יוצר מגע עם המסלול, וקצב אפס מסמן את הנקודה בה הכיוון נעצר לרגע.