פונקציות פרמטריות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה פרמטרית |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | משוואות פרמטריות |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | פרמטר |
מעקב אחר נקודה נעה
- טיסת עוף לא ניתן לתאר באמצעות "$y$ כפונקציה של $x$" — היא מתעגלת וחוזרת על עצמה.
- במקום זאת, יש לתאר איפה העוף נמצא בכל רגע: את ה-$x$ שלו ואת ה-$y$ שלו, ששניהם תלויים בזמן.
- זוהי הרעיון הפרמטרי: משתנה שלישי מניע את שתי הקואורדינטות.
- זה מאפשר לנו לשרטט כל מסלול, ולא רק curves שעוברות את מבחן הקו האנכי.
מהי פונקציה פרמטרית
- פונקצייה פרמטרית נותנת שני כללים: $x = x(t)$ ו$y = y(t)$.
- משוואות פרמטריות אלו משותפות להן נכנס משותף $t$.
- עבור כל ערך של $t$, מקבלים נקודה אחת $(x(t), y(t))$ על המעגל.
- כאשר $t$ עובר על כל התחום, הנקודה משרטטת את כל המסלול.
פונקציה פרמטרית מתארת עקומה באמצעות…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פונקציה פרמטרית נותנת ל-$x$ ול-$y$ ככל פונקציה של פרמטר $t$: הזוג $(x(t), y(t))$ מצייר את העקומה.
בגין $x = t^2 - 3$ ו-$y = t$, מהי הקואורדינטה $x$ כאשר $t = 2$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$; ו-$y = t = 2$, ולכן הנקודה היא $(1, 2)$.
מסלול, לא פונקציה של x
- מכיוון שהקואורדינטות שתיהן תלויות ב-$t$, העקומה עשויה ליצור לולאה, לחתוך את עצמה או לחזור אחורה.
- היא אינה חייבת להיות פונקציה של $x$ – מעגל שלם או ספירלה הם בסדר מוחלט.
- זוהי היתרון המרכזי לעומת גרפים רגילים של $y = f(x)$.
- לא ניתן היה לכתוב את אותו ציור כפונקציה יחידה של $y$ בתלות ב-$x$.
עקום פרמטרי יכול לסמן צורה שאינה פונקציה של $x$ (כמו מעגל מלא).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון שהשתי קואורדינאות תלויות ב-$t$, הדרך יכולה לעגול או לחזור על עצמה — היא אינה חייבת לעבור במבחן הקו האנכי.
המשתנה הבלתי תלוי $t$ שמניע גם את $x$ וגם את $y$ נקרא ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפרמטר $t$ (לרוב הזמן) קובע נקודה יחידה $(x(t), y(t))$ עבור כל ערכו.
סמן את כולן האמיתיות לגבי פונקציות פרמטריות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
עקום פרמטרי אינו חייב להיות פונקציה של $x$ — זהו היתרון שלו. השלושה האחרים נכונים.
הפרמטר
- המשתנה המניע $t$ הוא הפרמטר, והוא לעיתים קרובות מייצג זמן.
- ערכים שונים של $t$ ממוקמים את הנקודה בנקודות שונות לאורך העקומה.
- הכיוון של עליית $t$ מעניק למסלול כיוונון — האופן שבו הוא מצויר.
- הגבלת $t$ לרווח מציירת רק חלק מהעקומה.
מה הצורה הפרמטרית מאפשרת
בצורה פרמטרית, x ו-y תלויים כל אחד בפרמטר t. סדר את כל האמיתיות.
ביטול הפרמטר
- לעיתים ניתן לפתור משוואה אחת עבור $t$ ולהחליף כדי לקבל קשר פשוט בין $y$–$x$.
- עבור $x = t$, $y = t^2$, ההצבה נותנת $y = x^2$ — פרבולה מוכרת.
- זה משחזר את הצורה אך מאבד את הזמן והכיוון.
- שמור על הצורה הפרמטרית כאשר התנועה, ולא רק הצורה, היא הרלוונטית.
עקומה פרמטרית נושאת יותר מידע מאשר צורתה בלבד: לה יש גם כיוון וזמן. שתי פרמטריות שונות יכולות לצייר אותה צורה במהירויות שונות או בכיוונים הפוכים — אל תסתכל עליהן כאילו הן זהות.
צייר את $x = t^2 - 3$, $y = t$ עבור $t = -2, -1, 0, 1, 2$.
- נקודות: $(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$.
- מחוברות בסדר, הן מצירות פרבולה אופקית הפונה ימינה.
- כלל הקו האנכי אינו חל — זוהי לא פונקציה של $x$.
פונקציה פרמטרית מתארת עקומה באמצעות משוואות פרמטריות $x = x(t)$ ו$y = y(t)$, המנועות על ידי פרמטר $t$ (לעיתים קרובות זמן). מכיוון שהשתי קואורדינטות תלויות ב$t$, המסלול יכול להיות סגור ואינו חייב להיות פונקציה של $x$, והוא נושא כיוון וזמן.