קצבי שינוי בפונקציות קוטביות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | שיעור שינוי |
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה קוטבית |
כמה מהר השתנה הרדיוס?
- בעקומה קוטבית, כשהזווית מסתובבת, הרדיוס עולה ויורד.
- השאלה "כמה מהר משתנה $r$ ליחידת זווית?" היא קצב שינוי.
- זה מציין האם העקומה מתפתלת החוצה, פנימה או נשארת יציבה.
- קושר את רעיונות קצב השינוי של יחידה 1 לעולם הקוטבי.
קצב השינוי הממוצע של r
- פונקציה קוטבית היא $r = f(\theta)$, ולכן ניתן למדוד כיצד $r$ משתנה בהתאם ל$\theta$.
- קצב השינוי הממוצע בתחום נתון הוא $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$ — שינוי ברדיוס חלוקה בשינוי בזווית.
- ערך חיובי מעיד על גדילת הרדיוס; ערך שלילי מעיד על התכווצותו.
- זהו בדיוק קצב ה"תפוקה על הקלט", המיושם על $r$ ועל $\theta$.
כאשר $\theta$ עולה, אם $r$ עולה, העקומה נעת…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רדיוס גדל פירושו שהנקודה מתרחקת החוצה — העקומה ספירלית לחוץ.
התפתלות כלפי חוץ או פנימה
- אם $r$ גובר ככל ש$\theta$ גדל, העקומה מתרחקת מהמקור — והתפתלת כלפי חוץ.
- אם $r$ יורד, העקומה נסובבת פנימה לעבר הקוטב.
- ספירלה כמו $r = \theta$ בעלת קצב חיובי יציב, ולכן היא רחבה לנצח.
- גודל הקצב קובע כמה מהר העקומה מסתובבת.
התבוננו בגודל הרדיוס כאשר הזווית נעה
בספירלה, r גדל עם תטא. קצב השינוי של r קובע כמה מהר העקומה מתפתלת החוצה.
הקצב הממוצע של שינוי של $r$ על מרווח של $\theta$ הוא $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$, השינוי ברדיוס חלוקה בשינוי ב-____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה מודד כמה מהר הרדיוס משתנה ליחידת זווית — הגרסה הקוטבית למשיק.
סמן את כל האמיתיות לגבי קצבי שינוי בפונקציות בקואורדינטות מקוטבות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$r$ קבוע מצייר קשת מעגל, ולא ספירלה החוצה. השלושה האחרים נכונים.
כאשר הקצב הוא אפס
- במקום שבו קצב השינוי של $r$ הוא אפס, הרדיוס נשאר קבוע לרגע.
- רדיוס קבוע לאורך מרווח מצייר קשת מעגל.
- לכן, חלק שטוח ב$r$ מופיע כחלק עגול ועגלי של העקומה.
- שיאים ושפלים של $r$ הם המקומות שבהם העקומה רחוקה ביותר או קרובה ביותר למקור.
אם $r$ יורד כאשר $\theta$ עולה, העקומה ספירלית פנימה לכיוון הראשית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רדיוס קטן מושך את הנקודה לעבר הקוטב, ולכן העקומה מתפתלת פנימה.
אם קצב השינוי של $r$ הוא אפס במרווח נתון, העקומה שם היא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב אפס פירושו ש-$r$ נשאר קבוע, ולכן הנקודה נשארת באותו מרחק מהמוצא — זהו קשת מעגל.
קריאת התנועה
- מעקב אחר $r$ מול $\theta$ מאפשר לחזות את התנהגות העקומה הקוטבית.
- עלייה ב$r$: עלים או לולאות המגיעות החוצה. ירידה ב$r$: חזרה אל המרכז.
- נקודות האפס של $r$ הן המקומות שבהם העקומה עוברת דרך המקור.
- קצב השינוי הופך תמונה סטטית לסדרת תנועה.
הקצב כאן הוא השינוי ב-רדיוס לכל זווית, ולא מהירות נקודה לאורך העקומה. ערך גדול של $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ מצביע על כך שהמרחק מהמקור משתנה במהירות — הוא אינו מדד ישיר לכמה מהר אתה נע סביב העקומה.
לספירלה $r = \theta$, השוו את הרדיוס ב$\theta = 1$ וב$\theta = 3$.
- $r$ עובר מ$1$ ל$3$ כאשר $\theta$ עובר מ$1$ ל$3$.
- קצב שינוי ממוצע $= \dfrac{3 - 1}{3 - 1} = 1$: הרדיוס גדל ביחידה אחת לכל רדיאן.
- חיובי וקבוע, ולכן הספירלה נפתחת החוצה בקצב אחיד.
עבור פונקציית קוטבית $r = f(\theta)$, ה-קצב השינוי $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ מספר איך הרדיוס משתנה עם הזווית: חיובי → ספירלה החוצה, שלילי → פנימה, אפס → קשת מעגלית. זהו יישום רעיון קצב השינוי מייחוד 1 ל$r$ ול$\theta$.