גרפים של פונקציות קוטביות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה קוטבית |
| rose/rəʊz/ | פרוסטה |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | קרדיואיד |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | מערכת קואורדינטות קוטבית |
עקומות שפורחות
- בגרפים קרטזיים, $y$ תלוי ב$x$. בגרפים מקוטבים, הרדיוס תלוי בזווית.
- כאשר הזווית מסתובבת, הרדיוס גדל וקטן, ומסמן צורות מפתיעות.
- פרחים, לבבות וספירלות כולם מופיעים מתוך כללי קוטביים פשוטים.
- עקומות אלו קשות לציור עם $x$ ו$y$, אך קלות עם $r$ ו$\theta$.
מהי פונקציה קוטבית
- פונקציה קוטבית היא בצורה $r = f(\theta)$: רדיוס לכל זווית.
- כדי לשרטט אותה, סובבו את $\theta$ סביב הנקודה וסמנו את הנקודה במרחק $r$ בכיוון זה.
- כאשר $r$ גדול העקומה מגיעה רחוק; כאשר $r = 0$ היא נוגעת בראשית.
- הגרף כולו נבנה זווית אחת אחר השנייה.
פונקציה קוטבית $r = f(\theta)$ נותנת, עבור כל זווית, את…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פונקציה קוטבית מפיקה רדיוס לכל זווית כניסה; התיצוג $(f(\theta), \theta)$ מצייר את העקומה.
המשוואה הקוטבית הפשוטה $r = 3$ (קבוע) היא עיגול.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רדיוס קבוע בכל זווית מצייר עיגול ברדיוס זה סביב הראשית.
ורדים וצורות אחרות
- $r = a\sin(k\theta)$ או $a\cos(k\theta)$ משרטטים ורד – פרח בעל עלי כותרת.
- כאשר $k$ אי-זוגי יש $k$ עליים; כאשר $k$ זוגי יש $2k$.
- $r = a(1 + \sin\theta)$ משרטט קרדיאואיד בצורת לב.
- קבועה $r = a$ היא פשוט מעגל ברדיוס $a$.
שרטטו עקומה קוטבית עלי-גל על ידי עלי-גל
פונקציה קוטבית קובעת את r לכל זווית תטה. כאשר מזווים את תטה סביב, הרדיוס מצייר ורד, עיגול או ספירלה.
העקומה $r = a\sin(3\theta)$ היא ורד עם כמה עלי-גל?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עבור $r = a\sin(k\theta)$ כאשר $k$ הוא אי-זוגי, ה-ורד יש בדיוק $k$ עלי-גל — כאן $3$.
העקומה הקוטבית בצורת לב $r = 1 + \sin\theta$ נקראת ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קרדיאואיד ("בצורת לב") הוא עקומה קוטבית קלאסית מהצורה $r = a(1 + \sin\theta)$.
בחרו את כל האמיתיות הנכונות לגבי גרפים קוטביים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גרפים קוטביים כוללים מעגלים, ורדים, קרדיאידים וספירלות — לעיתים נדירות קווים ישרים. השלוש האחרות הן נכונות.
שרטוט נקודה נקודה
- צרו טבלה: בחרו זוויות, חשבו את $r$ בכל אחת, וסמנו את הנקודות.
- שימו לב למקום בו $r = 0$ (העקומה עוברת דרך ראשית) ומקום בו $r$ משיגה שיאים.
- חברו את הנקודות בחלקות בסדר גידול $\theta$.
- הדפוס בדרך כלל חוזר לאחר סיבוב מלא (או חצי, עבור ורדים זוגיים).
סימטריה עוזרת
- למעלה מקורבי קוטביים יש סימטריה סביב ציר, מה שמחצית את עבודת השרטוט.
- עקומה $\sin$ היא לעיתים קרובות סימטרית סביב הציר האנכי; עקומה $\cos$ סימטרית סביב הציר האופקי.
- זיהוי הסימטריה מאפשר לך לשערט חלק אחד ולהעתיק אותו באופן מראה עבור שאר העקומה.
- המרה חזרה לקואורדינטות קוטביות מאמת בדיוק היכן שכל תכונה נמצאת.
אל תקרא גרף קוטבי כמו גרף רב-ממדי. "לולאה" החוזרת לאפס מציינת כי $r$ עבר דרך $0$, ולא שהפונקציה אינה מוגדרת. בנוסף, נקודה אחת יכולה להישג במספר זוויות שונות, ולכן אותה עקומה עשויה להיות משורטטת יותר מפעם אחת.
שרטט $r = 2\cos\theta$ על פני $0 \le \theta \le \pi$.
- בנקודה $\theta = 0$: מתקבלת ערך $r = 2$ (נקודה הנמצאת $2$ יחידות מימין).
- בנקודה $\theta = \tfrac{\pi}{2}$: מתקבלת ערך $r = 0$ (ראשית הצירים).
- הנקודות יוצרות מעגל בקוטר $2$ הממוקם מימין לראשית הצירים.
פונקציה קוטבית $r = f(\theta)$ מספקת רדיוס לכל זווית. הסתובבות של $\theta$ יוצרת מעגלים, ורדים ($r = a\sin k\theta$), קרδιοאידים ($r = a(1+\sin\theta)$) וספירלות. שרטט נקודה אחרת נקודה באמצעות קואורדינטות קוטביות, והשתמש בסימטריה כדי להאיץ את השרטוט.