ביטויים טריגונומטריים שקולים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | זהות טריגונומטרית |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | שווה ערך |
| Pythagorean identity/ˈpaɪθəɡɔːrɪən aɪˈdentɪti/ | זהות פיתגוראית |
| sine/saɪn/ | סינוס |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | קוסינוס |
שתי פנים של הביטוי האותו
- כמות טריגונומטרית אחת יכולה להיות כתובה בדרכים רבות שנראות שוות אך שונות.
- $\sin^2\theta$ יכול להפוך ל-$1 - \cos^2\theta$; $\tan\theta$ יכול להפוך ל-$\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- החלפות אלו מופעלות על ידי זהויות — משוואות נכונות עבור כל זווית.
- בחירת הצורה הנכונה הופכת בעיה קשה לפשוטה.
מהי זוהי
- זהות טריגונומטרית היא משפט שמתקיים עבור כל הזוויות החוקיות.
- דבר זה שונה ממשוואה שפתרונים, המתקיימת רק בזוויות ספציפיות.
- שתי ביטויים הקשורים על ידי זהות הם שוויווי בכל מקום.
- לכן ניתן להחליף אחד בלעומת השני כל עוד כך נוח.
צפו כי הזהות הפיתגוראית מתקיימת
לכל זווית, הנקודה על המעגל היחידה מקיימת קוסינס בריבוע פלוס סינס בריבוע שווה ל-1 — זו הזהות הטריגונומטרית הבסיסית.
זהות טריגונומטרית היא משוואה שמתקיימת…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהות מתקיימת עבור כל הקלטות החוקיות — בניגוד למשוואה שפתורים עבור ערכים ספציפיים.
הזהות הפיthagוראית
- הזהות המרכזית היא הזהות הפיthagוראית: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- היא נובעת ישירות מעיגול היחידה, שבו $(\cos\theta, \sin\theta)$ בעל רדיוס $1$.
- עריכה מחדש של הזהות מובילה לביטויים $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ ו$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
- חלוקה ב-$\cos^2$ או ב-$\sin^2$ מובילה לגרסאות הסקנט והקוסקנט.
ה-זהות הפיתגוראית קובעת ש…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון שנקודת מעגל יחיד $(\cos\theta, \sin\theta)$ בעלת רדיוס $1$: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
בחרו את כל המשפטים הנכונים לגבי זהויות טריגונומטריות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
זהות היא נכונה לכל הזוויות, לא רק לאחת. השלוש האחרות הן נכונות.
סט כלים של זהויות
- זהויות הדדיות: $\sec = \tfrac{1}{\cos}$, ועוד.
- זהות מנה: $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- זוגיות/אי-זוגיות: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- יחד הן מאפשרות לשנות כל ביטוי טריגונומטרי כמעט לצורה חדשה.
אם $\sin\theta = 0.6$, אז מהזהות הפיתגוראית $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, ולכן $\cos\theta = \pm 0.8$.
זהויות מאפשרות להפוך ביטוי טריגונומטרי ל-שווה אחר שעשוי להיות קל לעיבוד.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי השימוש העיקרי שלהן: להחליף בצורה שווה כדי לפשט ביטוי או לפתור משוואה.
שימוש בזהויות
- לפישוט, החלף חלק מהביטוי בצורה שווה עד שהביטוי מתפורר.
- לפתרון משוואה, כתוב הכל באמצעות פונקציה אחת (למשל, רק סינוס).
- לאמת זהות, העבר צד אחד עד שהוא תואם את השני.
- צורות ה-סינוס וה-קוסינוס הן בדרך כלל הבטוחות ביותר לשאוף אליהן.
זהות מתקיימת עבור כל הזוויות, ולכן שני האגפים חייבים להתאים בכל מקום — לא ניתן "להוכיח" זהות על ידי הצבת ערך יחיד. בדיקת $\theta = 0$ יכולה לפסול זהות שגויה, אך אישור זווית אחת לעולם לא מוכיח זהות נכונה.
נתון $\sin\theta = 0.6$ עם $\theta$ חדה, מצאו את $\cos\theta$.
- זהות פיthagorean: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- ולכן $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.
- מכיוון ש-$\theta$ חדה, הקוסינוס חיובי: $\cos\theta = 0.8$.
זהות טריגונומטרית היא נכונה לכל זווית, ולכן מאפשרת להחליף ביטוי ב-שווה ערך. הזהות המרכזית היא הזהות הפיתגוראית $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$; בשילוב עם הזהויות ההופכות והמנה, היא מאפשרת לכתוב כל ביטוי טריגונומטרי בצורת סינוס וקוסינוס.