סקאנט, קוסקאנט וקוטנג'נט
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | הפוך |
| secant/ˈsiːkənt/ | מחולק |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | מספק |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | טנג'ס |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אנכית |
עוד שלושה מהפיכה
- סינוס, קוסינוס וטנגנס יש להם שלושה שותפים הנוצרים על ידי היפוך שלהם.
- כל פונקציה חדשה היא פשוט $1$ מחולק באחת מהפונקציות המקוריות.
- הן מופיעות כשהיחס קל יותר לכתיבה "הפוך".
- הגרפים שלהן יורשים את האסימפטוטות מהמקומות בהם המקוריים פוגעים באפס.
השלושה ההפוכים
- סקנט הוא ההפוך של קוסינוס: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
- קוסקנט הוא ההפוך של סינוס: $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$.
- קוטנגנס הוא ההפוך של טנגנס: $\cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.
- צמד זיכרון שימושי: "co-" והפונקציה הבסיסית לעולם לא מתאימות (סקנט זוגי עם קוסינוס).
גל הקוסינוס שההופכי שלו הוא סקאנט
y = cos x
סקאנט הוא 1 חלקי קוסינוס. בכל נקודה בה גל הקוסינוס הזה חוצה אפס, הסקאנט מתפוצץ לאסימפטוטה אנכית.
הפונקציה סקאנט מוגדרת כך…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סקאנט הוא ה-הופכי של קוסינוס: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
איזו זוגיות נכונה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קוסקאנט הוא $1/\sin$ ו-קוטנג'נט הוא $1/\tan = \cos/\sin$ — ההופכיים של הסינוס והטנג'נט.
בחרו את כל הזהויות ההופכות הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
סקאנט הוא $1/\cos$, ולא $\sin$. השלוש האחרונות הן הגדרות הופכות נכונות.
היכן שהן מתפוצצות
- ההפוך מוגדר רק כאשר המקורי אפס – אין לחלק באפס.
- לכן לסקנט יש אסימפטוטה אנכית בכל מקום שבו $\cos x = 0$.
- קוסקנט מתפוצץ בכל מקום שבו $\sin x = 0$; קוטנגנס בכל מקום שבו $\sin x = 0$ גם כן.
- בין האסימפטוטות, כל עקומה עולה לעבר $\pm\infty$.
לסקאנט יש אסימפטוטה אנכית ____ בכל מקום שבו $\cos x = 0$, כי אין לחלק באפס.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון ש-$\sec x = 1/\cos x$, קוסינוס אפס הופך את הסקאנט למוגדר לא (undefined) — אסימפטוטה אנכית.
הפלט של הפונקציה סקאנט לעולם אינו נמצא במעבר בין $-1$ ל$1$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון ש-$|\cos x| \le 1$, ההופך שלו $|\sec x| \ge 1$ — ערך הסקאנט תמיד גדול או שווה ל-$1$.
הצורה שלהם
- מכיוון ש$|\cos x| \le 1$, הדיסקראנטל (secant) המקוון שלו מקיים את $|\sec x| \ge 1$.
- לכן הדיסקראנטל לעולם אינו נכנס לחלקה שבין $-1$ ל-$1$ — הוא נמצא מחוצה לה.
- כל "U" של דיסקראנטל יושב מעל שיא של קוסינוס או מתחת לשפל של קוסינוס.
- הקוסנקנט (cosecant) נראה אותו דבר, מוזז כדי להתאים לקוסינוס במקום סינוס.
מדוע הם שימושיים
- נוסחאות מסוימות נקיות יותר עם דיסקראנטל או קוטנג'נט מאשר עם שבר של סינוס וקוסינוס.
- זהויות פיתגוראיות מגיעות גם בצורות של דיסקראנטל וקוסנקנט.
- בקalculus, הנגזרת של טנג'נט היא $\sec^2 x$ — הדיסקראנטלים מופיעים באופן טבעי.
- הידע בכל שש הפונקציות הטריגונומטריות מאפשר לבחור את הפשוטה ביותר למשימה.
אל תבלבלו בין הדיסקראנטל $\sec x = \tfrac{1}{\cos x}$ לבין ההפוך $\cos^{-1} x = \arccos x$. למרות השמות הדומים, אחד הוא "אחד על קוסינוס" והשני הוא "הזווית עם קוסינוס זה" — פונקציות שונות לחלוטין.
חשבו את $\sec\tfrac{\pi}{3}$ והסבירו מדוע $\csc 0$ אינו מוגדר.
- $\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12$, ולכן $\sec\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{1/2} = 2$.
- $\csc 0 = \tfrac{1}{\sin 0} = \tfrac{1}{0}$, שהוא אינו מוגדר.
- לכן $x = 0$ הוא אסימפטוטה אנכית של קוסנקנט.
דיסקראנטל, קוסנקנט ו-קוטנג'נט הם הדיסקראנטלים של קוסינוס, סינוס וטנג'נט. לכל אחד מהם יש אסימפטוטה אנכית בכל מקום בו הפונקציה הבסיסית אפס, והתוצאות של דיסקראנטל/קוסנקנט לעולם לא נופלות במובנה המוחלט בין $-1$ ל-$1$.