משוואות ואי-שוויונים טריגונומטריים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | פונקציה הפוכה |
| sine/saɪn/ | סינוס |
מתי הגל פוגע במטרה?
- "באיזה שעות הגובה בדיו הוא $3$ מטר?" הופך למשוואה טריגונומטרית.
- מכיוון שהגל חוזר על עצמו, התשובה היא לא שעה אחת אלא מערכת כוללת של שעות.
- פתרון פירושו למצוא כל הזוויות בהן הפונקציה שווה לערך המטרה.
- המעגל היחיד והתקופה יחד מספקים אותן כולן.
מציאת הפתרון הראשון
- כדי לפתור $\sin x = 0.5$, מצא תחילה זווית אחת עם הפונקציה ההפוכה: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- זה נותן פתרון "התחלה" יחיד בתוך הטווח המוגבל.
- עבור קוסינוס או טנגנט, השתמש ב-$\arccos$ או ב-$\arctan$ באותו אופן.
- זווית זו היא הזרע שממנו צומחים כל שאר הפתרונות.
כדי למצוא פתרון ראשוני ל$\sin x = 0.5$, משתמשים ב…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפונקציה ההפוכה נותנת זווית אחת: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). לאחר מכן משתמשים בסימטריה עבור שאר הפתרונות.
אחר כך חפשו את כולם
- הגל הסינוסי נחתך בקו ישר אופקי פעם אחת בכל מחזור, לנצח.
- לכן למשוואה טריגונומטרית יש בדרך כלל אינסוף פתרונות.
- השתמשו בסימטריה של הגרף כדי למצוא את הפתרון השני בתוך מחזור אחד.
- לאחר מכן הוסיפו כפולות שלמות של ה-מחזור כדי ליצור את שאר הפתרונות האינסויים.
כל חיתוך הוא פתרון
y = sin x
גל הסינוס פוגע בקו אופקי יעד שוב ושוב, ולכן למשוואה טריגונומטרית יש אינסוף פתרונות.
עבור כל המספרים הממשיים, ל$\sin x = 0.5$ יש…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגל פוגע בקו $y = 0.5$ פעם אחת בכל מחזור, לנצח — אינסוף פתרונות.
כדי לרשום כל פתרון, מוסיפים כפולה שלמה של ה____ לפתרון ראשוני.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון שהסינוס חוזר על עצמו, הוספת כל כפולה של המחזור שלו ($2\pi$) תניב פתרון נוסף.
בחרו את כל האמיתות הנכונות לגבי משוואות טריגונומטריות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הסינוס מקובע ב$1$, ולכן ל$\sin x = 5$ אין פתרון. השלושת האחרים נכונים.
אי-שוויונות
- אי-שוויון טריגונומטרי כמו $\sin x > 0.5$ דורש את המרווחים שבהם הגל נמצא מעל הקו.
- פתרו תחילה את המשוואה המתאימה כדי למצוא את הזוויות הגבוליות.
- לאחר מכן קראו איזה קשתות של הגל מקיימות את אי-השוויון.
- התשובה היא סדרה חוזרת של מרווחים, אחד לכל מחזור.
למשל $\sin x = 2$ אין פתרון.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסינוס לעולם אינו עולה על $1$, ולכן $\sin x = 2$ לעולם לא יתרחש — אין פתרון קיים.
כאשר אין פתרון
- הסינוס והקוסינוס לעולם לא יוצאים מ$[-1, 1]$, ולכן ל$\sin x = 2$ אין כלל פתרון.
- תמיד ודאו שהערך המיועד הוא ניתן להשגה לפני הפתרון.
- לעומת זאת, ערך מטרה בטנג'נס תמיד ניתן להשגה, מכיוון שהטנג'נס אינו מוגבל.
- ידע על תחום הערכים של כל פונקציה ישמור עליכם מהרדף אחר פתרונים בלתי אפשריים.
אל תדווחו רק את התשובה האחת שנותן המחשבון. $\arcsin(0.5)$ נותן $\tfrac{\pi}{6}$, אך $\sin x = 0.5$ מתקיים גם ב$\tfrac{5\pi}{6}$ ובכל $+2\pi$ נוסף משניהם. למשוואה טריגונומטרית יש כמעט תמיד יותר פתרונות מאשר ההיפוכים חושפים.
פתרו $\cos x = 0$ עבור כל $x$.
- פתרון אחד: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- קוסינוס הוא גם $0$ בנקודה $\tfrac{3\pi}{2}$ — כלומר, $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- לכן הפתרון המלא הוא $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ עבור כל מספר שלם $k$.
כדי לפתור משוואה טריגונומטרית, השתמש בפונקציה ההפוכה לקבלת הזווית הראשונה, ולאחר מכן בסימטריה של הגרף וב-תקופה כדי לרשום את כל הפתרונות – לעיתים אינסופי רבים. בדוק תחילה שהיעד נמצא בטווח הערכים של הפונקציה (סינוס וקוסינוס אינם יכולים לעבור את $1$). חוסר שוויונות נותנים פרקי זמן חוזרים.