פונקציות טריגונומטריות הפוכות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sine/saɪn/ | סינוס |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | פונקציה הפוכה |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | חד-ל-חד |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
מיחס חזרה לזווית
- סינוס הופך זווית ליחס; לעיתים אנו זקוקים להפוך תהליך זה.
- "איזו זווית יש לה סינוס של $0.5$?" היא שאלה שהיפוך בלבד יכול לענות עליה.
- מדרגות, קעריות לוויין וניווט כולם דורשים את הזווית מתוך יחס נמדד.
- פונקציות טריגונומטריות הפוכות עושות בדיוק את ההפכה הזו.
מה ההפוך עושה
- ה-הפוך של הסינוס, שנכתב $\arcsin$ או $\sin^{-1}$, לוקח ערך ומחזיר זווית.
- $\arcsin(0.5) = 30°$, כי $\sin 30° = 0.5$.
- באופן דומה, $\arccos$ ו-$\arctan$ מבטלים את הקוסינוס והטנגנס.
- כל אחד מביטל את פונקציית הטריגונומטריה שלו וחוזר על הזווית שיצרה את הערך.
הפונקציה ההפוכה $\arcsin$ (או $\sin^{-1}$) לוקחת ערך ומחזירה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ההפוך של סינוס הופך אותו: $\arcsin(0.5)$ הוא הזווית שמסוניה היא $0.5$, ומדובר בזווית $30°$.
מדוע חובה להגביל
- הסינוס אינו חד-אחד: אין ספור זוויות שמשתפות אותו ערך סינוס.
- אם היינו מבטלים את כולן, ה"הפוך" היה מחזיר תשובות רבות בו-זמנית — ולא הייתה זו פונקציה.
- לכן אנו מגבילים את התחום לחלק עולה אחד, מ-$-\tfrac{\pi}{2}$ עד $\tfrac{\pi}{2}$.
- בתחום המוגבל הזה, כל תוצאה מגיעה מזווית אחת בדיוק.
מיחס חזרה לזווית
פונקציה טריגונומטרית הפוכה עונה לשאלה ההפוכה — בהינתן הערך של הסינוס או הקוסינוס, איזה זווית ייצרה אותו?
מדוע יש להגביל את הסינוס לפני שהוא יכול להיות לפונקציה הפוכה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לרבות זוויות משותפות את אותו סינוס, ולכן הסינוס אינו חד-חד-ערכי. הגבלת התחום שלו מבטיחה תוצאה אחת לכל כניסה.
מהו $\arcsin(1)$ (ברדיאנים)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, ולכן $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — הזווית בטווח המוגבל.
בחרו את כל האמיתות הנכונות לגבי פונקציות טריגונומטריות הפוכות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פונקציה הפוכה מחזירה רק זווית אחת (בתחום המוגבל), ולא את כולן. השלוש האחרות הן נכונות.
הגרפים ההפוכים
- מכיוון שהם הפוכים, הגרפים משתקפים את גרפי הטריגונומטריה המוגבלים לאורך $y = x$.
- $\arcsin$ יש תחום $[-1, 1]$ (כל ערכי ה-סינוס החוקיים) ותחום ערך $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ יש אותו תחום אך תחום ערך $[0, \pi]$.
- הקלט שלהם הוא יחסים; התוצאה שלהם היא זוויות.
גרף של פונקציה טריגונומטרית הפוכה הוא הגרף הטריגונומטרי המוגבל המוחזר ביחס ל$y = x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כמו בכל פונקציה הפוכה, החלפת הכניסה והיציגה מחזירה את הגרף ביחס לקו $y = x$.
קריאת ערך
- כדי למצוא $\arccos(0)$, שאל "איזה זווית ב-$[0,\pi]$ יש לה קוסינוס $0$?" — התשובה היא $\tfrac{\pi}{2}$.
- הפונקציה ההפוכה מחזירה את זווית אחת בתוך הטווח המוגבל, הנקרא הערך הראשי.
- ייתכן שישנן זוויות אחרות שעובדות גם הן, אך פונקציית ההפוכה מדווחת רק על אחת.
- הוסף סיבובים מלאים או השתמש בסימטריה אם תרצה את שאר הזוויות.
הפונקציה ההפוכה נותנת רק את הזווית הראשית, לא כל הפתרונות. $\arcsin(0.5) = 30°$, אך ל-$150°$ יש גם סין $0.5$. כאשר פותרים משוואה עליך למצוא כל הזוויות לבדך — הפונקציה ההפוכה נותנת לך רק אחת.
מדרון עולה בגובה של $3$ מטר לאורך אורך השיפוע של $6$ מטר. באיזה זווית הוא מצופה?
- הסין של הזווית הוא $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- ולכן הזווית היא $\arcsin(0.5) = 30°$.
- הפונקציה ההפוכה המירדה את היחס הנמדד חזרה לזווית הרצויה שלנו.
פונקציה טריגונומטרית הפוכה מחזירה זווית מתוך יחס: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. מכיוון שפונקציות טריגונומטריות אינן חד-חד-ערכיות, אנו מגבילים תחילה את ה-תחום שלהן. הגרפים של הפונקציות ההפוכות משקפים את הסין/הקוסינוס/הטנגנט המוגבלים ביחס ל-$y = x$, ומדווחים רק על הזווית הראשית.