פונקציית הטנגנס
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | טנגנס |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אנכית |
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
גל שנשבר
- סינוס וקוסינוס מתגלגלים בצורה חלקה, תמיד מוגבלים בין $-1$ ל-$1$.
- פונקציית הטנגנס משוגעת יותר: היא זוקפת לאינסוף ואז מתחילה מחדש.
- הגרף שלה הוא שרשרת של ענפים נפרדים, שכל אחד מהם נשבר על ידי קיר בלתי נראה.
- הבנת ה-סיבה לכך שהיא נשברת חושפת איך היא בנויה מסיןוס וקוסינוס.
טנגנס הוא יחס
- הטנגנס מוגדר כ-$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- במעגל היחיד הוא השיפוע של הקו מהראשית לנקודה.
- כאשר הסיןוס הוא $0$, הטנגנס הוא $0$ (הענחים חוצים את הציר).
- כאשר הקוסינוס הוא $0$, היחס מתחלק באפס — ושם זה נשבר.
פונקציית הטנגנס שווה ל…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לפי הגדרה, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — סינוס חלקי קוסיןوس.
מהו $\tan 0$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tan 0 = \dfrac{\sin 0}{\cos 0} = \dfrac{0}{1} = 0$.
אסימפטות במקום בו הקוסינוס מתאפס
- אסימפטטה אנכית מופיעה בכל מקום שבו $\cos x = 0$.
- זה קורה ב-$x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — בכל חצי סיבוב.
- כשמתקרבים לאסימפטטה, הערך יוצא ל-$+\infty$ או ל-$-\infty$.
- הגרף לעולם אינו חוצה קירות אלו; הוא פשוט עולה בתלילות בצידם.
טנגנס כשיפוע שיוצא מהשליטה
על המעגל היחיד, הטנגנס הוא שיפוע קו הרדיוס. ככל שהזווית מתקרבת ל-90 מעלות, השיפוע הולך ונעשה אינסופי.
לפונקציית הטנגנס יש אסימפטורה אנכית בכל מקום שבו…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאן $\cos x = 0$, השבר $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ מחולף באפס — אסימפטורה אנכית.
בחר את כל האמירות הנכונות לגבי $y = \tan x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בניגוד לסינוס ולקוסין, הטנגנס הוא בלתי מוגבל — הוא שואף ל-$\pm\infty$. השלושה האחרים נכונים.
מחזור קצר יותר
- סינוס וקוסיןוס חוזרים על עצמם כל $2\pi$, אך ה-מחזור של טנג'נס הוא רק $\pi$.
- לכן טנג'נס משלים מחזור מלא פעמיים תדירות יותר.
- בתוך כל מחזור הוא עולה באופן רציף מ$-\infty$ ועד $+\infty$.
- ענף אחד נמתח מאסימפטוטה אחת לאסימפטוטה הבאה.
בניגוד לסינוס ולקוסין, לפונקציית הטנגנס יש תקופה ____ (לא $2\pi$).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הטנגנס חוזר על עצמו כל $\pi$ — פעמיים יותר לעיתים מאשר סינוס או קוסין.
יציאה בלתי מוגבלת
- בניגוד לסינוס וקוסיןוס, לטנג'נס אין מקסימום או מינימום.
- התחום שלו הוא כל המספרים הממשיים — הוא מגיע לכל גובה.
- סמוך לאסימפטוטה הוא גדל ללא גבול; באמצע ענף הוא שווה ל$0$.
- צורה זו, הבלתי מוגבלת והחוזרת על עצמה, מדגמית תלילות וזוויות הרמה.
טנג'נס מוגדר באסימפטוטות שלו — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ אין לו ערך, כי $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ ואי אפשר לחלק באפס. אל תנסו להציב זוויות אלו; הפונקציה פשוט אינה קיימת שם.
מצאו את $\tan\tfrac{\pi}{4}$ והסברו מדוע $\tan\tfrac{\pi}{2}$ אינו מוגדר.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$, שהוא אינו מוגדר.
- לכן $x = \tfrac{\pi}{2}$ היא אסימפטוטה אנכית, ולא נקודה בגרף.
פונקציית טנג'נס היא $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. יש לה אסימפטוטה אנכית בכל מקום שבו $\cos x = 0$, מחזור של $\pi$ (ולא $2\pi$), ותחום בלתי מוגבל — כל ענף עולה מ$-\infty$ ל$+\infty$ וחוזר על עצמו.