טרנספורמציות של פונקציות סינוסואידליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | משרעת |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | קו אמצע |
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | זזת פאזה |
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה סינוסואידלית |
כיפוף הגל ההורה
- הגל ההורה $\sin x$ קבוע, אך גלים אמיתיים הם גבוהים יותר, מהירים יותר ומוזזים.
- ארבע טרנספורמציות משנות אותו לגל סינוסואידי כלשהו שאתה זקוק לו.
- שתי פעולות מתבצעות אנכית (על הפלט), ושתי פעולות מתבצעות אופקית (על הקלט).
- למד מה עושה כל ידנית, ותוכל לצייר או לכתוב כל גל.
שינויים אנכיים
- כפל ב-$a$ מרחיב את הגל אנכית: ה-משרעת הופכת ל-$|a|$.
- מתח שלילי $a$ גם הופך את הגל הפוך.
- הוספת $d$ מרים או מורידה את כל הגל, ומגדירה את קו האמצע ל-$y = d$.
- יחד הם קובעים את השיא ($d + |a|$) ואת השפל ($d - |a|$).
הגדלת $|a|$ ב$y = a\sin(bx) + d$ גורמת לגל…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$|a|$ היא המשרעת, לכן ערך גדול יותר של $|a|$ מתיח את הגל לגובה רב יותר.
הגדלת $d$ ב$y = a\sin(bx) + d$ …
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$d$ הוא רמתהקו האמצעי, ולכן הוספה אליו מרימה את כל הגל למעלה.
שינויים אופקיים
- המקדם $b$ דוחס את הגל אופקית: המחזור הופך ל-$\tfrac{2\pi}{b}$.
- ערך מוחלט גדול יותר של $b$ משמעותו מחזור מהיר יותר — יותר גלים באותו מרחב.
- הקבוע $c$ מייצר הזזת פזה, מחליק את הגל שמאלה או ימינה.
- כמו תמיד, $(x - c)$ מזיז את הגרף ימינה ב-$c$.
מתיחה, הזזה והרמה של גל סינוס
y = a·sin(b(x − c)) + d
גדילו את a כדי להגביר את המשרעת, גדילו את b כדי לקצר את התקופה, שינו את c כדי להזיז צדדית, ושינו את d כדי להרים את הקו האמצעי.
עבור $y = \sin(3x)$, מהי התקופה? (השתמשו ב$\pi \approx 3.14$; תנו את הערך של $2\pi/3$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
תקופה $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — הכפלת $b$ בשלוש מקטינה את התקופה לשליש.
הקבוע $c$ בתוך $\sin(b(x - c))$ יוצר הזזה אופקית ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הזזת פאזל מזיזה את הגל שמאלה או ימינה ללא שינוי בצורתו.
שילוב כל ארבעה
- פונקציה סינוסואידלית מלאה משתמשת בארבעה בו-זמנית: $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- הניחו אותם בסדר הגיוני: מתיחה, ואז הזזה.
- כל פרמטר פועל באופן עצמאי, כך שניתן לקרוא אותם אחד-אחד.
- אותו ארבעה משונויים מעצב גם קוסיןוז באותו אופן.
התאם כל פרמטר ל-$y = a\sin(b(x-c)) + d$. בחר את כולן הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$c$ שולט בזזזית פאזה, ולא במשרעת. השלושה האחרים נכונים.
קריאת העיצוב מגרף
- מדדו את הקו האמצעי: חשבו ממוצע של הנקודות הגבוהה והנמוכה ביותר → זהו $d$.
- מדדו את המשרעת: מחצית מהמרחק בין הפסגה לבין השפל → זהו $|a|$.
- מדדו את התקופה: האורך האופקי של מחזור אחד → נותן $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- מצאו היכן מחזור "מתחיל" כדי לקרוא את ההזזה הפאזית $c$.
המשרעת והקו האמצעי נובעים מ-חוץ הסינוס (הם מקיפים ומרים את התוצאה); התקופה וההזזה הפאזית נובעים מ-פנים (הם פועלים על הקלט). בלבול בין פנים לחוץ — במיוחד בהזזה אופקית הפוכה — הוא הטעות הקלאסית בנושא סינוסואידים.
תארו את העיצובים ב$y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- משרעת $|a| = 4$; קו אמצע $y = 3$; לכן הוא מתנדנד בין $-1$ ל-$7$.
- תקופה $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- הזזה פאזית: ימינה ב-$1$ (מ-$x - 1$ בתוך הביטוי).
עצבו את הסינוס ההורה בעזרת ארבעה כפתורי בקרה: $a$ קובע את המשרעת, $d$ את הקו האמצעי, $b$ את התקופה ($\tfrac{2\pi}{b}$), ו$c$ את ההזזה הפאזית. ערכים מחוץ לסינוס פועלים אנכית; ערכים בפנים פועלים אופקית ובהפוך.