פונקציות סינוסואידליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה סינוסואידלית |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | משרעת |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | קו אמצע |
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | זזת פאזה |
גל אחד, ארבעה כפתורים
- הגל ההורה של הסינוס קבוע, אך גלים אמיתיים מגיעים בכל גודל ומהירות.
- ארבעה מספרים מאפשרים לשנות את צורתו: גבוה יותר או נמוך יותר, מהיר יותר או איטי יותר, מוזז מעלה או לצד.
- שליטה בארבעה אלו מאפשרת להתאים לכל עקומה מחזורית חלקה.
- המשפחה הגמישה הזו נקראת פונקציות סינוסואידליות.
הצורה הכללית
- פונקציה סינוסואידלית היא $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- האמפליטודה היא $|a|$ — כמה הגל עולה מעל ויורד מתחת למרכז.
- קו האמצע הוא $y = d$ — הקו האופקי סביבו הגל מתנדד.
- קוסינוס מתאים לאותה תבנית; השניים ניתנות להחלפה באמצעות הזזה.
ב-$y = a\sin(b(x - c)) + d$, המודולוס הוא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המקדם $a$ מתיח את הגל אנכית, ולכן המודולוס הוא $|a|$.
ב-$y = a\sin(b(x - c)) + d$, קו האמצע הוא הישר $y =$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוספת $d$ מזיזה את כל הגל כלפי מעלה, ולכן קו האמצע נמצא ב-$y = d$.
אמפליטודה וקו אמצע
- שינוי $a$ מתיחה את הגל לגובה או מדחס אותו לשטוח (או הופך אותו אם $a < 0$).
- שינוי $d$ מאפשר הזזת הגל כולו למעלה או למטה לקו אמצע חדש.
- הערך המקסימלי הוא $d + |a|$ והערך המינימלי הוא $d - |a|$.
- לכן $a$ ו$d$ יחד קובעים את הקצה העליון והתחתון של הגל.
עיצוב מחדש של סינוסואיד עם ארבעה בקרים
y = a·sin(b(x − c)) + d
a קובע את המודולוס, b קובע את התקופה, c מזיז אותה אופקית, ו-d קובע את קו האמצע. שינוי כל אחד מהם ומצפייה בתוצאה.
התקופה של $y = a\sin(b x) + d$ היא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגורם $b$ דוחס את הגל אופקית, ולכן התקופה מצטמצמת ל-$\dfrac{2\pi}{b}$.
מהי התקופה של $y = \sin(2x)$? (השתמש ב-$\pi \approx 3.14$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
תקופה $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — הכפלת $b$ מחצית את התקופה.
תור מ-b
- המספר $b$ שולט על מהירות המחזור של הגל.
- התור הוא $\dfrac{2\pi}{b}$ — ערך גדול יותר של $b$ דוחס מחזורים זה לצד זה.
- לכן $y = \sin(2x)$ חוזר פעמיים מהר יותר, עם תור $\pi$.
- התדר (מחזורים ליחידה) הוא הנפסוכה של התור.
ב-$y = a\sin(b(x - c)) + d$, התאם כל תפקיד. בחר את כולם הנכונים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$b$ קובע את התקופה, לא את המשרעת. הזזת פאזל של $c$ מזיזה את הגל לצדדים. השלושה האחרים נכונים.
הזזת פזה מ-c
- הערך $c$ מזיז את הגל שמאלה או ימינה — הזזת פאזה.
- בתוך הפונקציה, $(x - c)$ מניע את הגרף ימינה ב-$c$ (הכלל הרגיל הפוך).
- הזזת פאזה מאפשרת לדגם סינוסאי להתאים נתונים שמגיעים לשיא בזמן נבחר.
- יחד $a, b, c, d$ מקבעים כל סינוסואיד בדיוק.
זכרו כי $b$ קובע את התור, לא את המודד, ועובד בנפסוכות: ערך גדול יותר של $b$ נותן תור קצר יותר. וההזזה $(x - c)$ מניעה את הגרף ימינה, לא שמאלה — ההפיכה בתוך הפונקציה מטרידה לעיתים קרובות תלמידים.
תיארו את $y = 3\sin(2x) + 5$.
- משרעת $|a| = 3$; קו אמצע $y = 5$; לכן הוא מתנדנד בין $2$ ל-$8$.
- תור $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — מחזור אחד כל $\pi$ יחידות.
- אין הזזת פאזה ($c = 0$), לכן הוא מתחיל מחזור ב-$x = 0$ על קו האמצע, בעלייה.
פונקציה סינוסואידלית $y = a\sin(b(x-c)) + d$ בעלת משרעת $|a|$, קו אמצע $y = d$, תקופה $\dfrac{2\pi}{b}$, והזזה פאזית של $c$. ארבעה מספרים אלו משנים את הגל ההורה כדי להתאים לכל דפוס מחזורי חלק.