גרפים של סינוס וקוסינוס
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sine/saɪn/ | סינוס |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | קוסינוס |
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | משרעת |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | קו אמצע |
פריסת המעגל לגל
- דמיינו נקודה מסתובבת סביב מעגל היחידה, ועקבו רק בגובהה לאורך הזמן.
- ציירו גובה זה כנגד הזווית, ותתקבל גל חלק.
- גל זה הוא הגרף של הסינוס – המעגל שפרסנו.
- הקוסינוס הוא אותה רעיון, בעקבות הקואורדינטה האופקית במקום זאת.
גרף הסינוס
- גרף ה-סינוס $y = \sin x$ מתחיל ב-$0$, עולה ל-$1$, יורד דרך $0$ אל $-1$, ואז חוזר.
- מחזור מלא לוקח $2\pi$ לפני שהתבנית חוזרת.
- הוא מתנדד במרחק קבוע מעל ומתחת לציר האופקי.
- התוצאה היא הגל החלק והמתגלגל הקלאסי.
עקוב אחר גל הסינוס
y = a·sin(b(x − c)) + d
זהו גל הסינוס ההורה — קומת גל 1, קו מרכז y = 0, ותקופה ⟦2pi⟧. צפה כשהוא חוזר על עצמו.
גרף הסינוס ההורה $y = \sin x$ מתחיל (ב$x = 0$) בגובה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון שה$\sin 0 = 0$, גל הסינוס מתחיל בקו המרכז ועולה לשיא שלו של ⟨$1$⟩.
גרף הקוסינוס
- גרף ה-קוסינוס $y = \cos x$ בעל בדיוק אותו צורה.
- אלא שהוא מתחיל בשיא $1$ (מכיוון ש$\cos 0 = 1$), רבע מחזור לפני הסינוס.
- למעשה, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ — קוסינוס הוא סינוז שמוזז שמאלה.
- לכן, לימוד גל אחד נותן לך בעצם את השניים.
גרף האם של קוסינוס $y = \cos x$ מתחיל (בנקודה $x = 0$) בגובה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון שה$\cos 0 = 1$, הקוסינוס מתחיל במקסimum שלו — רבע תקופה לפני הסינוס.
בחרו כל האמיתיות הנכונות לגבי $y = \sin x$ ו$y = \cos x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הם מתנדדים ואינו עולים לנצח. השלושה האחרים נכונים.
משרעת, קו אמצע ומחזור
- לגלים ההולכיים יש משרעת $1$: הם עולים $1$ מעלה ויורדים $1$ מטה.
- קו האמצע שלהם הוא $y = 0$, הרמה סביבה הם מתנדנדים.
- המחזור שלהם הוא $2\pi$, האורך האופקי של מחזור אחד.
- כל גרף אחר בצורת סינוז הוא אחד מהם, מוגדל או מוזז.
לגרפי הסינוס והקוסינוס ההורים יש תקופה של ____ רדיאנים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מחזור מלא נמשך $2\pi$ לפני שהגל חוזר על עצמו — זהו התקופה של הפונקציות הבסיסיות.
גרפים של פונקציית הסינוס והקוסינוס הבסיסיות הם בעלי מודולוס $1$ וקו אמצע $y = 0$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הם מתנדדים בין $-1$ ל-$1$: מודולוס $1$ מעל/מתחת ל-קו האמצע $y = 0$.
קריאת הגל
- כדי לצייר מחזור, סמן חמישה נקודות מפתח: התחלה, שיא, אמצע, מינוע, סיום.
- עבור סינוז, הגבהים הללו הם $0, 1, 0, -1, 0$ לאורך מחזור אחד.
- עבור קוסינוס הם $1, 0, -1, 0, 1$.
- חבר אותם בעקומה חלקה וחזור ימינה ושמאל לנצח.
גרפי סינוס וקוסינוס לעולם אינם נפסקים או שטוחים — הם מתנדדים לנצח בין $-1$ ל-$1$. אל תצייר אותם משתטחים לכיוון אסימפטוטה; בניגוד לאקספוננציאליות וללוגריתמים, הם פשוט ממשיכים לגלות גלימה.
איפה $y = \sin x$ מגיע לראשונה למקסימום ולמינימום שלו?
- מקסימום $1$ מתרחש ב-$x = \tfrac{\pi}{2}$ (רביע דרך מחזור).
- מינימום $-1$ מתרחש ב-$x = \tfrac{3\pi}{2}$ (שלושה רבעים דרך המחזור).
- שניהם חוזרים על עצמם כל $2\pi$ לאחר מכן.
גרפי סינוס ו-קוסינוס הם עיגול היחידה שנפרס: גלים חלקים עם אמפליטודה $1$, קו אמצע $y = 0$, ו-תקופה $2\pi$. זהות בצורתן, מוזזות ברביע תקופה, כך שה-$\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.