ערכי פונקציית הסינוס והקוסינוס
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sine/saɪn/ | סינוס |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | קוסינוס |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | מעגל יחיד |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | רדיאנים |
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
ערכי שניתן לקרוא ממעגל
- לכל זווית יש סינוס וקוסינוס — אך מאין מגיעים המספרים?
- הם פשוט קואורדינטות על המעגל היחידתי, קריאה ישירה.
- מערכת של "זוויות מיוחדות" נותנת ערכים נקיים וקלים לשינון.
- להסתכל על אלו, והסימטריה של המעגל תספק לך את שאר הערכים.
ערכים של זוויות מיוחדות
- ב-$\theta = 0$: הנקודה היא $(1, 0)$, ולכן $\cos 0 = 1$ ו-$\sin 0 = 0$.
- ב-$\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$): הנקודה היא $(0, 1)$, ולכן $\cos = 0$, $\sin = 1$.
- הזוויות $30°, 45°, 60°$ נותנות את הערכים המוכרים עם $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- קריאת סינוס או קוסינוס היא פשוט קריאת קואורדינטה.
קראו סינוס וקוסינוס בכל זווית
זזו עם הזווית והצפיכו בשינויים ובחזרה של ערכי הסינוס (גובה) והקוסינוס (רוחב).
מהו $\sin 0$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בזווית $0$, נקודת המעגל היחיד היא $(1, 0)$, ולכן הקואורדינטה y היא $\sin 0 = 0$.
מהו $\cos 0$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בזווית $0$, הנקודה היא $(1, 0)$, ולכן הקואורדינטה x היא $\cos 0 = 1$.
סימנים לפי רביע
- ברביע העליון-ימני שתי הקואורדינטות חיוביות, ולכן הסינוס והקוסינוס חיוביים.
- מעבר לרביעים אחרים גורם לאחד או לשניים להיות שליליים.
- "הכל, סינוס, טנגנס, קוסינוס" (ASTC) מקליט אילו חיוביים, רביע אחר רביע.
- המעגל היחידתי הופך כל סימן לברור — רק צריך להסתכל על הקואורדינטה.
התוצאה של $\sin\theta$ תמיד נמצאת בין…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
על המעגל היחיד הקואורדינטה y לעולם אינה יוצאת מ$[-1, 1]$, ולכן $-1 \le \sin\theta \le 1$.
בחר את כל האמיתות הנכונות לגבי ערכי הסינוס והקוסינוס.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הסינוס מעולם לא מגיע ל$2$ — הוא מקופל ב$1$. השלושה האחרים נכונים.
חוזר בכל מילוי מלא
- לאחר סיבוב מלא אחד הנקודה נופלת בדיוק במקום שבו החלה.
- לכן הערכים חוזרים כל $2\pi$ רדיאנים (או $360°$).
- חזרה קבועה זו היא ה-תקופה של סינוס וקוסינוס.
- הוספת כל כפולה של $2\pi$ לזווית אינה משנה את ערכי הסינוס והקוסינוס שלה.
ערכי הסינוס והקוסינוס חוזרים על עצמם כל ____ רדיאנים (סיבוב מלא).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לאחר סיבוב מלא של $2\pi$ (או $360°$), הנקודה חוזרת למקום שבו החלה, ולכן הערכים חוזרים על עצמם.
תפוצות מוגבלות
- מכיוון שרדיוס המעגל הוא $1$, אף קואורדינטה לעולם לא עולה על $1$ או יורדת מתחת ל-$-1$.
- לכן גם סינוס וגם קוסינוס מקיימים תמיד את $-1 \le \text{value} \le 1$.
- המקסימום, $1$, והמינימום, $-1$, מתרחשים בחלק העליון/תחתון או השמאלי/ימני של המעגל.
- גבול זה הוא הסיבה שהגלים הסינוסואידליים יש גובה קבוע.
סינוס וקוסינוס לעולם אינם יכולים להיות $2$ או $-5$. התפוצות שלהם נכלאות בתוך $[-1, 1]$ על ידי מעגל היחידה. אם חישוב נותן $\sin\theta = 1.4$, ביצעת טעות כלשהי.
מצאו את $\sin\tfrac{\pi}{2}$, $\cos\pi$, ו-$\sin 3\pi$.
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$: החלק העליון של המעגל $(0,1)$, ולכן $\sin = 1$.
- $\cos\pi$: הנקודה השמאלית $(-1, 0)$, ולכן $\cos = -1$.
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — ה-$2\pi$ הנוסף אינו משנה דבר.
סינוס ו-קוסינוס הם קואורדינטות על מעגל היחידה. זוויות מיוחדות נותנות ערכים נקיים, והרביע קובע את הסימן. הערכים חוזרים כל $2\pi$ רדיאנים (ה-תקופה), ושניהם נשארים תמיד בתוך $[-1, 1]$.