סינוס, קוסינוס וטנגנס
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sine/saɪn/ | סינוס |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | קוסינוס |
| tangent/ˈtændʒənt/ | טנגנס |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | מעגל יחיד |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | רדיאנים |
שלושה יחסים שיפתחו את עולם המעגלים
- לפני עידנים, סוריינים ואסטרונומים צרכו לקשר זוויות לאורכים.
- התשובה הייתה שלושה יחסים בתוך משולש ישר-זווית: סינוס, קוסינוס וטנגנס.
- הם הופכים זווית למספר, ומספר חזרה לזווית.
- שלושת הפונקציות הללו הן הדלתא לכל מחזורי.
יחסים במשולש ישר-זווית
- עבור זווית חדה במשולש ישר-זווית, נתנו שמות לצלעות: מול, סמוך והיפוטנוזה.
- סינוס: $\sin\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$.
- קוסינוס: $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$.
- טנגנס: $\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$. זכרו SOH-CAH-TOA.
במשולש ישר זווית, $\sin\theta$ שווה ל…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SOH: סינוס הוא מול חלקי יתרה חוצה. CAH: קוסינוס הוא סמוך חלקי יתרה חוצה. TOA: טנג'נס הוא מול חלקי סמוך.
המעגל היחיד
- צייר עיגול ברדיוס $1$ שמרכזו בנקודת המקור — זהו העיגול היחידתי.
- נקודה עליו בזווית $\theta$ יש לה קואורדינטות בדיוק $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- לכן הקוסינוס הוא הקואורדינה ה-x והסינוס הוא הקואורדינה ה-y.
- הדבר מאפשר גם לזוויות מעבר ל-$90°$ להיות להן סינוס וקוסינוס — כל המסלול סביב.
להסוב נקודה סביב מעגל היחידה
הקואורדינטה x של הנקודה היא הקוסינוס של הזווית, והקואורדינטה y היא הסינוס.
על המעגל היחיד, נקודה בזווית $\theta$ בעלת קואורדינטות…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
על מעגל ברדיוס 1, הנקודה היא $(\cos\theta, \sin\theta)$ — הקוסינוס הוא הקואורדינטה x, והסינוס ה-y.
סמן את כל ההצהרות האמתיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מעגל שלם הוא $360°$ (או $2\pi$ רדיאנים), לא $100°$. השלושה האחרים נכונים.
רדיאנים ומשיק
- זוויות ניתן למדוד במעלות או ב-רדיאנים, כאשר עיגול מלא שווה ל-$2\pi$.
- רדיאנים מדדים את אורך הקשת שנשפך בעיגול היחידתי, ולכן $180° = \pi$.
- המשיק מקשר בין שני האחרים: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- בעיגול היחידתי, המשיק הוא השיפוע של הישר מהמקור לנקודה.
טנג'נס שווה לסינוס מחולוק ב-____ (כלומר $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ה-טנג'נס הוא סינוס חלקי קוסינוס: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
זוויות ניתנות למדידה ב-רדיאנים, כאשר מעגל שלם הוא $2\pi$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סיבוב מלא הוא $360°$ או, ב-רדיאנים, $2\pi$. רדיאנים מודדים את אורך הקשת במעגל היחיד.
סביב ועוד סביב
- כשהנקודה עוברת פעם אחת סביב העיגול, הסינוס והקוסינוס מחזוריים בכל הערכים שלהם.
- לאחר סיבוב מלא אחד, הכל חוזר לחלוקה — ומכאן שהפונקציות הללו הן פונקציות מחזוריות.
- הקוסינוס מתחיל ב-$1$ (זווית $0$); הסינוס מתחיל ב-$0$.
- העיגול היחידתי הוא התמונה היחידה מאחורי כל ערך טריגונומטרי.
שמור על יחידות הזווית שלך. $\sin(90)$ הוא כמעט שווה ל-$1$ אם $90$ משמעותו מעלות, אך ערך שונה לחלוטין אם $90$ משמעותו רדיאנים. תמיד ודא אם הבעיה נתונה במעלות או ברדיאנים לפני ביצוע החישוב.
מצא את $\sin\theta$ ואת $\cos\theta$ עבור הזווית שבה נקודת העיגול היחידתי היא $(0.6, 0.8)$.
- הקואורדינה ה-x היא הקוסינוס: $\cos\theta = 0.6$.
- הקואורדינה ה-y היא הסינוס: $\sin\theta = 0.8$.
- בדק: $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$, כפי שדורש המעגל היחידתי.
סינוס, קוסינוס ו-טנגנס הם יחסים במשולש ישר זווית (SOH-CAH-TOA). על המעגל היחידתי, נקודה בזווית $\theta$ היא $(\cos\theta, \sin\theta)$, מה שמרחיב את הפונקציות לכל זווית. זוויות נמדדות בדרגות או רדיאנים ($2\pi$ למילוי), ו$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.