גרפים סמי-לוגריתמיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | אקספוננציאלי |
| semi-log plot/ˈsemi lɒɡ plɒt/ | גרף סמי-לוגריתמי |
| logarithmic scale/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk skeɪl/ | סקאלה לוגריתמית |
| slope/sləʊp/ | שיפוע |
הישרת ק曲线
- קו ישר הוא הגרף הקל ביותר לקריאה, התאמה והרחבה.
- לכן מדענים מבצעים טריק חכם: משנים סקאלה של ציר כדי להפוך קcurve לקו ישר.
- עבור מידע אקספוננציאלי, שימוש בסקאלה לוגריתמית בציר האנכי עושה בדיוק זאת.
- התוצאה היא גרף סמי-לוגריתמי, וחושף התנהגות אקספוננציאלית נסתרת במבט ראשון.
מהו גרף סמי-לוגריתמי
- גרף סמי-לוגריתמי משתמש ב-סקאלה לוגריתמית על אחד הצירים, לרוב האנכי.
- בסקאלה לוגריתמית, מרווחים שווים משמעותם כפל שווה: $1, 10, 100, 1000$ ממוקמים במרווחים אחידים.
- הציר האופקי נשאר רגיל (ליניארי).
- "Semi" (סמי) פירושו רק מחצית הגרף — ציר אחד — הוא לוגריתמי.
האקספוננציאל שגרף סמי-לוגריתמי ממיר לקו ישר
y = a·bˣ
אקספוננציאל זה מתעקם כלפי מעלה בצירים רגילים. אם תעבדו את הציר האנכי בקנה מידה לוגריתמי, הוא יהפוך לקו ישר מושלם.
גרף סמי-לוגריתמי משתמש בקנה מידה לוגריתמי ב…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
"סמי" פירושו חצי: גרף סמי-לוגריתמי מקנה לוגריתמי רק לציר אחד, ברוב המקרים האנכי.
מדוע אקספוננטיות הופכות לישר
- קחו אקספוננציאל $y = a\,b^x$ והפעילו לוגריתם בשני הצדדים.
- תקבלו $\log y = \log a + x\log b$ — משוואה ליניארית ב-$x$.
- לכן גרירה של $\log y$ מול $x$ נותנת קו ישר מושלם.
- הסקאלה הלוגריתמית עושה את ה-"$\log y$" עבורכם אוטומטית.
יחס אקספוננציאלי מופיע כקו ישר בגרף סמי-לוגריתמי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקיחת $\log$ של $y = a\,b^x$ נותנת $\log y = \log a + x\log b$ — ליניארית ב-$x$, ולכן הגרף הוא ישר.
בחרו את כל ההצהרות הנכונות לגבי גרפים סמי-לוגריטמיים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
רק נתונים מעריכיים הופכים לקו ישר בגרף סמי-לוגריטמי — לא כל ערכת נתונים. השלושה האחרים נכונים.
קריאת השיפוע והחיתוך
- השיפוע של הישר שווה ל$\log b$ — שיפוע גדול יותר משמעותו גידול מהיר יותר.
- החיתוך שלו שווה ל$\log a$ — הוא מחזיר את הערך ההתחלתי $a$.
- כך שתוכל לקרוא ישירות את שני המספרים מעקב האקספוננציאלי.
- התאמת ישר היא הרבה יותר פשוטה ומדויקת מאשר התאמת עקומה.
בגרף סמי-לוגריתמי של אקספוננציאל, ה-____ של הקו הישר שווה ל-$\log b$ (קצב הגידול).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מ-$\log y = \log a + x\log b$, השיפוע הוא $\log b$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $\log a$.
אם נקודות הנתונים יוצרות קו ישר בגרף סמי-לוגריטמי, המודל הטוב ביותר הוא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קו ישר בגרף סמי-לוגריטמי הוא האופיין של קשר מעריכי בנתונים המקוריים.
בניית מודל מתוך הגרף
- צייר את הנתונים על צירים סמי-לוגריתמיים וראה אם הם נוטים לישר.
- אם כן, הקשר הבסיסי הוא אקספוננציאלי.
- מדוד את השיפוע והחיתוך, ואז תמיר חזרה ל$a$ ול$b$.
- זוהי כלי מדעי סטנדרטי לזיהוי גידול או דעכה אקספוננציאליות.
רק נתונים אקספוננציאליים הופכים לישר בגרף סמי-לוגריתמי — זהו לא מקל קסם לכל עקומה. אם הנקודות עדיין מכופפות בגרף סמי-לוגריתמי, הקשר אינו אקספוננציאלי, ועליך לנסות מודל אחר.
ספירת חיידקים נכפלת כל שעה: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$
- על צירים רגילים אלו מתעקמים כלפי מעלה בחוד.
- בגרף סמי-לוגריתמי ($\log$ של הספירה מול זמן) הם נוטים לישר.
- השיפוע הקבוע מאשר גורם גידול קבוע — גידול אקספוננציאלי אמיתי.
גרף סמי-לוגריתמי מכיל קנה מידה לוגריתמי בציר אחד. קשר אקספוננציאלי $y = a\,b^x$ הופך לישר, כי $\log y = \log a + x\log b$. ה-שיפוע של הישר נותן את קצב הגידול וחיתוכו נותן את הערך ההתחלתי — בדיקה מהירה לנתונים אקספוננציאליים.