מודלוי עם פונקציות לוגריתמיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| logarithmic model/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈmɒdl/ | מודל לוגריתמי |
| regression/rɪˈɡreʃn/ | רגרסיה |
| parameters/pəˈræmɪtəz/ | פרמטרים |
צמיחה שנעצרת בהדרגה
- דברים מסוימים משפרים מהר בתחילה, ואז זוחלים: מיומנות חדשה, מאגר נמלא, קול דוהה.
- ההשגים לא נפסקים לעולם, אך כל אחד מהם קטן מהקודם.
- צורת "מהר ואז איטי, לנצח" הזו היא בדיוק מה הלוגריתם מצייר.
- לכן מודלים לוגריתמיים מתארים צמיחה המואטת באופן נהדר.
בניית מודל לוגריתמי
- מודל לוגריתמי הוא בצורה $y = a\log x + c$.
- הוא עולה בחודתיות עבור $x$ קטנים, ואז ממשיך לעלות בקצב הולך ומתמתן.
- בחרו בו כאשר הנתונים עולים במהירות ואז משתטחים ללא קיר.
- שני או שלושה נקודות יכולים לקבוע את הקבועים ידנית.
מודל לוגריתמי מתאים לנתונים...?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לוגריתמים עולים במהירות ואז הופכים לשטוחים — מושלם לגידול שנמשך באיטול אך לעולם אינו מפסיק, כמו עקומות למידה.
רגרסיה מוצאת את ההתאמה
- עם נתונים מפוזרים, ביצעו רגרסיה לוגריתמית במחשבון.
- היא מחזירה את $a$ ו-$c$ הטובים ביותר להתאמה לעקומה $y = a\log x + c$.
- העקומה חודרת את המגמה מבלי להתאים בדיוק לכל נקודה.
- התוצאה היא נוסחה מוכנה לפרש ולהשתמש בה.
עקומה שעולה במהירות, ואז הופכת לשטוחה
y = a·log(x − b) + c
מודל לוגריתמי עולה בתחילה בצורה חדה, ולאט יותר בהמשך מבלי לעולם להפסיק — אידיאלי לנתונים שנמשכים באיטול מתמיד.
טכנולוגיה יכולה למצוא ____ לוגריתמי שמשתלב היטב עם סט נתונים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ריגרסיה לוגריתמית מחזירה את $a$ ואת $c$ ב$y = a\log x + c$ שמתאימים הנקודות הכי טוב.
בחרו את כל ההצהרות הנכונות לגבי מודלים לוגריתמיים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
לוגריתם עולה ללא גבול — הוא מאט אך אין לו עליון. השלושה האחרים נכונים.
פרשנות הפרמטרים
- ה-פרמטרים $a$ ו-$c$ נושאים משמעות אמיתית.
- $a$ גדול יותר מתיח את העקומה, כלומר עלייה ראשונית מהירה יותר.
- הקבוע $c$ מזיז את כל העקומה למעלה או למטה כדי להתאים לרמת הנתונים.
- קריאת מספרים אלו הופכת את המודל חזרה להצהירה על המצב.
ניתן לפרש את הפרמטרים של המודל המותאם בהתייחס למצב בפועל.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לכל קבוע יש משמעות — לדוגמה, ערך גדול יותר של $a$ מצביע על עלייה ראשונית מהירה יותר.
איזה ניגוד נכון?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הן הפוכות זו לזו: האקספוננציאל מאיצה, בעוד שהמראה שלה הלוגריתם מאט.
לוגריתמי לעומת הרמוניים בהקשרים
- הרמוני מתאים לדברים מתאיצים: אוכלוסיות, ריבית מורכבת, התפשטות ויראלית.
- לוגריתם מתאים לדברים מתאימים: תפיסה חושית, תשואות פוחתות.
- הם הפוכים זה לזה, ולכן צורות המודל שלהם הן הפוכות.
- שאל "האם הגידול מאיץ או מאט?" כדי לבחור את המשפחה הנכונה.
מודל לוגריתמי מאט אך לעולם אינו עוצר — אין לו גבול עליון. אל תשתמשו בו בדבר שמגיע באמת לרוויה בקיר מוצק (מודל אחר מטפל בכך). הוא מתאים רק לגידול שנמשך, אך הולך וגם הולך בעדינות.
מחקר מצא שהציון בבחנה עולה לפי שעות לימוד כ$S = 20\log_{10} h + 40$.
- ב-$h = 1$: $S = 20(0) + 40 = 40$.
- ב $h = 10$: $S = 20(1) + 40 = 60$ — פי עשר מהשעות עבור נקודות $+20$.
- התמורה מ-$10 \to 100$ שעות היא שוב רק $+20$: ירידה משמעותית בתשובה (תשואה פוגעת).
מודל לוגריתמי $y = a\log x + c$ מתאים למידע העולה במהירות ולאחר מכן מאט. מצאו אותו באמצעות רגרסיה לוגריתמית, פרשנו את ה-פרמטרים שלו בהקשר, וזכרו שאין לו גבול עליון — הוא מאט אך לעולם אינו מפסיק לעלות.