משוואות אקספוננציאליות ולוגריתמיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה מעריכית |
| logarithmic equation/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ɪˈkweɪʒn/ | משוואה לוגריתמית |
| extraneous/ekˈstreɪnɪəs/ | שורש זר |
מציאת מעריך נסתר
- "$2$ ל◊איזה חזקה שווה $5$?" הוא משוואה עם המשתנה באקספוננט.
- לא ניתן פשוט לחלק אותו — המשתון כלוא בתוך חזקה.
- הלוגריתמים הם הכלי שמשחרר אותו, והצורה האקספוננציאלית משחררת משוואות לוגריתמיות.
- בין שני צעדים אלו ניתן לפתור כמעט כל משוואה אקספוננציאלית או לוגריתמית.
פתרון משוואות אקספוננציאליות
- משוואה אקספוננציאלית היא משוואה בה המשתנה נמצא באקספוננט, כמו ב-$2^x = 8$.
- אם לשתי הצדדים יש בסיס משותף, הושיבו אותם: $2^x = 2^3$ מוביל ל-$x = 3$.
- אם הבסיסים אינם מתאימים, קחו לוגריתם משני הצדדים.
- כלל החזקות יוריד אז את האקספוננט למיקום שבו תוכלו לפתור עבורו.
מצאו את הנקודה שבה הפונקציה האקספוננציאלית מגיעה לערך מטרה
y = 2ˣ
פתרון 2ˣ = 5 פירושו מציאת ה-x שבו העקומה חוצה את הגובה 5. לוגריתם נותן את ה-x בדיוק.
פתרו $2^x = 8$ על ידי התאמת בסיסים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$8 = 2^3$, ולכן $2^x = 2^3$ מניב $x = 3$ — בסיסים שווים משמעם מעריכים שווים.
כדי לפתור $2^x = 5$, כאשר הבסיסים אינם מתאימים, עליכם…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקחת $\log$ משני האגפים מוריד את המעריך: $x = \log_2 5 \approx 2.32$.
פתרון משוואות לוגריתמיות
- משוואה לוגריתמית היא משוואה בה המשתנה נמצא בתוך לוגריתם, כמו ב-$\log_2 x = 4$.
- כתבו אותה בצורה אקספוננציאלית: $\log_2 x = 4$ פירושו $x = 2^4 = 16$.
- אם מופיעים מספר לוגריתמים, צמצמו אותם ללוגריתם אחד לפני ההמרה.
- הצורה האקספוננציאלית היא המפתח העיקרי לכל משוואה עם לוגריתם יחיד.
פתרו את המשוואה הלוגריתמית $\log_2 x = 4$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כתבו במערכת אקספוננציאלית: $x = 2^4 = 16$.
בדקו לפתרון חיצוני
- הפתרון עשוי להוביל לתוצאה ששוברת את תחום ההגדרה של המשוואה המקורית.
- ללוגריתם יש צורך בערך חיובי, ולכן כל פתרון שמוביל ל-$\log(\text{negative})$ נדחה.
- פתרון כזו נקראת פתרון זר.
- תמיד הצב שוב וודא שכל הארגומנטים נשארים חיוביים.
פתרונות מועמדים הגורמים לארגומנט לוגריתמי להיות שלילי יש לדחות כ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פתרון חיצוני מקיים את המשוואה המעוצבת מחדש אך מפר את תחום ההגדרה המקורי — יש לבדוק תמיד.
בחרו את כולן המשפטות הנכונות לגבי פתרון משוואות אלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חלק מהמועמדים הם חיצוניים ועליהם לדחות. השלושה האחרונים הם אסטרטגיות נכונות.
אי-שוויונות
- פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות הן מונוטוניות — תמיד עולות או תמיד יורדות.
- לכן אי-שוויון כמו $2^x > 8$ פותר באותו אופן, שמירה על הכיוון: $x > 3$.
- עבור בסיס יורד ($0 < b < 1$), סימן האי-שוויון מתהפך.
- פתור תחילה כמשוואה, ואז החלט איזה צד של הגבול מקיים אותו.
לעולם אל תשכחו לבדוק פתרונות למשוואות לוגריתמיות. פתרון $\log(x) + \log(x-3) = 1$ עשוי לספק לכם $x = 5$ וגם $x = -2$, אך $x = -2$ גורם לכך ש-$\log(-2)$ יהיה בלתי מוגדר — הוא פרטי וחייב להיפטר ממנו.
פתור $2^x = 5$.
- הבסיסים לא יתאימו, לכן לקח $\log_2$ משני הצדדים.
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$, והצד השמאלי מצטמצם ל$x$.
- לכן $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — המעריך שהלוגריתם חשף.
פתור משוואה אקספוננציאלית על ידי התאמת בסיסים, או על ידי נטילת לוגריתם כדי להוריד את המעריך. פתור משוואה לוגריתמית על ידי כתיבתה בצורה אקספוננציאלית. תמיד בדוק קיום פתרונות זרים, מכיוון שארגומנט של לוגריתם חייב להישאר חיובי.