עיצוב ביטויים לוגריתמיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | כלל המנה |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | כלל המכפלה |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | כלל החזקה |
| change-of-base/tʃeɪndʒ ɒv beɪs/ | שינוי בסיס |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | שווה ערך |
המרת מכפלות לסכומים
- לפני מחשבים, אנשים הכפילו מספרים ענקיים על ידי חיבור הלוגריתמים שלהם.
- הקסם הזה עובד כי לוגריתם הופך מכפלה לחיבור.
- שלושה חוקים פשוטים מאפשרים לך לפתוח, לדחס או לשנות בסיס לכל ביטוי לוגריתמי.
- הם למעשה חוקי המעריכים, הנראים דרך המראה של הלוגריתם.
כללי מכפלה ומנה
- חוק המכפלה מפצל מכפלה: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
- חוק המנה מפצל מנה: $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
- מכפלה בתוך הלוגריתם הופכת לחיבור מחוצה לו; חילוק הופך לחיסור.
- אלו מהווים מראה של "הכפלת מעריכים → חיבור מעריכים" ו"חילוק → חיסור".
הלוגריתם מאחורי החוקים
y = a·log(x − b) + c
חוקים אלו נובעים מכללי המעריכים בהפוך. חקרו את עקומת הלוגריתם שמגדירה האלגברה שלה.
חוק המכפלה ללוגריתמים קובע כי $\log_b(xy) =$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לוגריתם של מכפלה הוא סכום של לוגריתמים — הרפלקסיה של "הכפלת מעריכים מוסיפה מעריכים".
ה-כלל המנה אומר $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לוגריתם של מנה הוא הפרש לוגריתמים — המראה ה"חילוק חזקות מחייב חיסור מעריכים".
כלל החזקה
- חוק החזקה מוציא את המעלה לפנים: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
- ולכן $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
- חזקה הנעלמת בתוך לוגריתם הופכת למכפיל פשוט.
- יחד, שלושת החוקים יכולים לפתוח או לצמצם לחלוטין ביטוי לוגריתמי.
כלל החזקה עבור לוגריתמים קובע ש-$\log_b(x^n) =$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מעריך בתוך לוגריתם יוצא כלפי חוץ כמכפיל: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
שינוי בסיס
- מחשבים מכילים רק כפתורי $\log$ (בסיס 10) וכפתורי $\ln$ (בסיס $e$).
- נוסחת שינוי הבסיס מטפלת בכל בסיס אחר: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
- ולכן $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$.
- בחרו כל בסיס שתומכים בו הכלים שלכם, ואז חלקו.
הנוסחה ____ מאפשרת לחשב $\log_2 7$ כ-$\dfrac{\log 7}{\log 2}$ במחשבון.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נוסחת שינוי בסיס $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ עובדת עם כל בסיס נוח.
פתיחה וצמצום
- פתיחה משתמשת בחוקים משמאל לימין כדי לשבור לוגריתם אחד לרבים.
- צמצום מפעיל אותם מימין לשמאל כדי לשלב לוגריתמים רבים לאחד.
- שני ביטויים הם שוויון אם החוקים ממירים אחד לשני.
- בחרו את הצורה המתאימה ביותר לבעיה – פתרון דורש בדרך כלל לוגריתם יחיד.
בחרו את כולן החוקים הנכונים לגבי לוגריתמים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
אין כלל עבור $\log(x+y)$ — החוקים חלים על מכפלות, מנות וחזקות, אך לא על סכומים. השלושה האחרים נכונים.
אין כלל עבור לוגריתם של סכום: $\log(x + y)$ אינו שווה ל$\log x + \log y$. החוקים חלים רק על מכפלות, מנות וחזקות בתוך הלוגריתם. פירוק סכום הוא אחת הטעויות הנפוצות ביותר בלוגריתמים.
צמצמו את $2\log x + \log y - \log z$ ללוגריתם אחד.
- חוק החזקה: $2\log x = \log x^2$.
- מכפלה ולאחר מכן מנה: $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
- לוגריתם נקי וחד, מוכן לפתרון או הערכה.
חוקי הלוגריתם חוזרים את חוקי החזקות: חוק המכפלה יוצר סכום, חוק המנה יוצר הפרש, וחוק החזקה יוצר מכפיל. נוסחת שינוי הבסיס מאפשרת לחשבון לעבד כל בסיס, והחוקים מראים מתי שתי צורות הן שוויון – אך לעולם לא לפצל $\log(x+y)$.