פונקציות לוגריتمיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה לוגריתמית |
| base/beɪs/ | בסיס |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אנכית |
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | התנהגות בקצוות |
העקומה האיטית-ועקבית
- האקספוננציאל זוקפת את עצמה כלפי מעלה; תמונת המראה שלה, הלוגריתם, עושה את ההפך.
- לוגריתם עולה לנצח אך בקצב הולך וקטן, לעולם לא מישור או נעצר.
- הוא נדבק לציר y משמאל ונדחס כלפי מעלה מימין.
- צורה רכה זו מדגמת עוצמת קול, חומצה ואת ה"תחושה" של מספרים גדולים.
גרף הלוגריתם
- פונקציית לוגריתם היא $f(x) = \log_b x$, ההופכת של $b^x$.
- הגרף עובר דרך $(1, 0)$, שכן $\log_b 1 = 0$ לכל בסיס.
- מימין ל-$1$ הפונקציה חיובית; בין $0$ ל-$1$ היא שלילית.
- לקרוא את הצורה כהשתקפות של הפונקציה האקספוננציאלית ביחס ל-$y = x$.
עיצוב העקומה הלוגריتمית
y = a·log(x − b) + c
עקומה זו קלעה לאט ונדבקת לציר ה-y. היא קיימת רק עבור x גדול יותר מאשר נקודת האי-איןפיניט האנכית שלה.
תחום ההגדרה ואסימפטוטה אנכית
- תחום ההגדרה הוא $x > 0$ — אי אפשר לחשב לוגריתם של אפס או של מספר שלילי.
- כאשר $x \to 0^+$, הערך יורד ל-$-\infty$: אסימפטוט אנכי ב-$x = 0$.
- הגרף לעולם לא נוגע בציר y, אלא רק מתקרב אליו越来越紧密.
- בתמורה, התחום (Range) שלו הוא כל המספרים הממשיים.
תחום ההגדרה של $f(x) = \log_b x$ הוא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ניתן לקחת לוגaritם רק ממספר חיובי, ולכן התחום ההגדרה הוא $x > 0$.
לפונקציה לוגריتمית יש ____ נקודת אי-איןפיניט ב$x = 0$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאשר $x \to 0^+$, התוצאה צוללת ל-$-\infty$, ולכן $x = 0$ הוא אסימפטוטה אנכית.
הגרף של $y = \log_b x$ חותך את ציר ה-x בנקודה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון ש-$b^0 = 1$, אנו מקבלים $\log_b 1 = 0$: נקודת החיתוך עם ציר ה-x נמצאת תמיד ב-$x = 1$.
סמן כל האמירות הנכונות לגבי $y = \log_b x$ (עם $b > 1$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
היא עולה ללא גבול, ולכן אין לה מקסימום. השלוש האחרים הם נכונים.
הבסיס קובע את הכיוון
- אם הבסיס $b > 1$, פונקציית הלוגריתם עולה (עלייה איטית).
- אם $0 < b < 1$, היא יורדת במקום זאת.
- בסיס גדול יותר גורם לעקומה לעלות באופן עוד יותר עדין.
- בשום מקרה, העקומה עוברת דרך $(1, 0)$ ולها אותה אסימפטוטה.
פונקצי לוגריתמית ממשיכה לגדול לנצח, אך בקצב הולך וקטן越来越慢 (more and more slowly).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היא עולה ללא גבול כאשר $x \to \infty$, אך השיפוע שלה משתטח — ההפך מהתאוצה האקספוננציאלית.
התנהגות בקצוות: בלתי מוגבלת אך איטית
- כאשר $x \to \infty$, ההתנהגות בקצוות היא $\log_b x \to \infty$ — היא לעולם לא משטחת.
- אבל היא צומחת כל כך לאט שהשגת $y = 10$ עשויה לקחת זמן עצום $x$.
- בהשוואה לפיצוץ של פונקציה מעריכית, הלוגריתם כמעט לא זז.
- זה בדיוק הסיבה שמשתמשים בלוגריתמים כדי לדחוס טווחים עצומים של מספרים.
הצמיחה האיטית של לוגריתם אינה זהה ל"הימצאות בתקרה". היא ממשיכה לעלות לנצח — אין לה אסימפטוטה אופקית ואין מקסימום. פשוט לוקח יותר ויותר זמן לטפס כל יחידה נוספת.
תאר את $y = \log_2 x$ בנקודות מסוימות.
- $\log_2 1 = 0$ (נקודת החיתוך עם ציר ה-x), $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$.
- כדי להשיג כל $+1$ נוסף במשתנה תלוי, המשתנה הנע חייב להכפיל בעשרים — הצמיחה מאטה.
- קרוב ל-$x = 0$ העקומה צוללת לאורך האסימפטוטה האנכית לכיוון $-\infty$.
פונקציה לוגריתמית $\log_b x$ יש תחום הגדרה $x > 0$, אסימפטוטה אנכית ב-$x = 0$, ועוברת דרך $(1, 0)$. ה-בסיס קובע בין עלייה לבין ירידה, וההתנהגות בקצוות שלו היא בלתי מוגבלת אך עם צמיחה הולכת ומאטה — מראה הפוך של פונקציה מעריכית.