הופכים של פונקציות מעריכיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | פונקציה הפוכה |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה לוגריתמית |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אנכית |
הזוג הנאמן האקספוננציאלי
- לכל פונקציה אקספוננציאלית יש בן זוג שמפעיל אותה הפוך.
- בעוד ש-$2^x$ הופך מעריך לערך, הבן הזוג שלו הופך ערך חזרה למעריך.
- הבן הזוג הזה הוא הלוגריתם — ובגיאומטריה זו תמונת ראי מושלמת.
- הבנה של הזוג יחד הופכת את שניהם להרבה קלים יותר.
לוגריתם הוא ההופך של אקספוננציאלית
- הפונקציה הלוגריתמית $\log_b x$ היא ההופך של האקספוננציאלית $b^x$.
- לשתיים יש אותו בסיס והן מבטלות את עבודתן אחת של השנייה.
- $b^x$ לוקח מעריך לערך; $\log_b x$ לוקח את הערך חזרה למעריך.
- אז לוגריתמים ואקספוננציאליות הם שתי זוויות של אותו קשר.
הפונקציה הלוגاریתמית $\log_b x$ היא ה____ של הפונקציה האקספוננציאלית $b^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הן מבטלות זו את זו, ולכן פונקציית הלוגaritם היא ההופכת של האקספוננציאל בעל אותו בסיס.
סימטריה סביב y = x
- מכיוון שהן הופכות, הגרפים שלהן הם סימטריות ביחס לקו $y = x$.
- האקספוננציאלית הרוכבת הופכת ללוגריתם שעולה לאט, ולהפך.
- לכל נקודה $(a, b)$ על $b^x$ מתאימה נקודה $(b, a)$ על $\log_b x$.
- כשרואים גרף אחד, אפשר לגרף את השני על ידי סימטריה ביחס ל-$y = x$.
העקומה המעריכית שהיא מראה של הלוגריתם
y = 2ˣ
שקופית המראה את העקומה y = 2ˣ ביחס לקו y = x. התמונה במראה היא הגרף של y = log₂ x.
תחום, טווח ואסימפטוטה הופכו
- פונקציות הפוכות מחליפות תחום וטווח. הטווח של האקספוננציאל $y > 0$ הופך לתחום הלוגריתם $x > 0$.
- האסימפטוטה האופקית של האקספוננציאל $y = 0$ הופכת לאסימפטוטה אנכית של הלוגריתם $x = 0$.
- הטווח של הלוגריתם הוא כל המספרים הממשיים — הוא יכול להיות כל מעריך.
- לכן פונקציית הלוגריתם קיימת רק עבור כניסות חיוביות, סמוכה לציר ה-y משמאל.
לאקספוננציאל יש נקודת אי-איןפיניט (אסימפטוט) אופקית; ההופכת שלה, הלוגaritם, יש במקום זאת ____ אסימפטוט.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השתקפות ביחס ל$y=x$ הופכת את הנקודת האי-איןפיניט האופקית $y=0$ לנקודת אי-איןפיניט אנכית $x=0$.
תחום ההגדרה של $\log_b x$ הוא $x > 0$, שהיה טווח הערכים של הפונקציה האקספוננציאלית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הופכות מחליפות בין תחום הגדרה לתחום ערכים: תחום הערכים של האקספוננציאל ($y>0$) הופך לתחום ההגדרה של הלוגaritם ($x>0$).
בחר את כל האמירות הנכונות לגבי האקספוננציאל והופכת שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הן הופכות זו של זו, ולא אותה פונקציה. השלוש האחרות מתארות נכון את הקשר.
היא מבטלת את זו של השני
- שילוב פונקציה עם ההפוכה שלה מטשטש: $\log_b(b^x) = x$ ו$b^{\log_b x} = x$.
- לכן $\log_2(2^7) = 7$ ו$10^{\log_{10} 5} = 5$.
- בטילה זו היא בדיוק איך לוגריתמים פותרים משוואות עם המשתנה במעריך.
- נ-rowe את הלוגריתם לשני הצדדים, והמעריך יורד למקום בו ניתן להגיע אליו.
מהו $\log_2\!\left(2^5\right)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לוגריתם ביטל את הפונקציה האקספוננציאלית: $\log_2(2^5) = 5$. פונקציות הפוכות מבטלות אחת את השנייה.
האקספוננציאל מקבלת כל כניסה ממשית אך מוציאה רק חיוביים; הלוגריתם הוא התמונה המראתית — הוא מקבל רק כניסות חיוביות אך מוציא כל ממשי. אין לתת ללוגריתם אפס או ארגומנט שלילי, ואין לצפות שהאקספוננציאל תוציא לעולם אחד מהם.
השתמש בקשר ההפוך כדי לפתור $10^x = 1000$.
- קח את $\log_{10}$ משני הצדדים: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- צד שמאל מתבטל ל$x$; צד ימין הוא $3$ (כי $10^3 = 1000$).
- לכן $x = 3$ — הלוגריתם ביטל את האקספוננציאל.
הפונקציה הלוגריתמית היא ההפוכה של האקספוננציאלית עם אותו בסיס: הגרפים שלהם מסתכלים זה על זה לאורך $y = x$. התחום והטווח מתחלפים, כך שהלוגריתם יש לו תחום $x > 0$ ו-אסימפטוטה אנכית ב-$x = 0$. הם מבטלים זה את זה, וזהו הדרך שבה לוגריתמים פותרים משוואות אקספוננציאליות.