לוגריתמים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | אקספוננציאלי |
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | לוגריתם |
| base/beɪs/ | בסיס |
| natural log/ˈnætʃərəl lɒɡ/ | לוגריתם טבעי |
| common log/ˈkɒmən lɒɡ/ | לוגריתם עשרוני |
השאלה ההפוכה
- פונקציות מעריכיות עונדות על "מתחילים מ-1 והכפילו פי 2 חמישה פעמים — מה התוצאה?" ($2^5 = 32$).
- לוגריתמים עונים על השאלה ההפוכה: "כמה פעמים יש להכפיל ב-2 כדי להגיע ל-32?" ($5$).
- שאלה זו ההפוכה מופיעה בכל מקום: pH, רעידות אדמה, דציבלים, ריבית מורכבת.
- לוגריתם הוא פשוט האקספוננט, שהוחזר החוצה.
לוגריתם הוא אקספוננט
- לוגריתם עונה על השאלה: לאיזה חזקה יש להרים את הבסיס כדי לקבל ערך מסוים?
- $\log_b y = x$ פירושו בדיוק $b^x = y$ — הלוגריתם הוא המעריך $x$.
- לכן $\log_2 8 = 3$ מכיוון ש-$2^3 = 8$.
- קריאת לוגריתם כ"המעריך שמתאים" הופכת אותו לפחות מסתורי.
לקרוא לוגריתם מהעקומה המעריכית
y = 2ˣ
מצאו את ערך ה-y 8 בעקומה y = 2ˣ. הערך x שמפיק אותו הוא המעריך — כלומר, הלוגריתם בסיס 2 של 8.
המשפט $\log_b y = x$ פירושו אותו דבר כמו…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לוגריתם הוא מעריך: $\log_b y = x$ שואל "$b$ לכוח מה מתקבל $y$?", ולכן $b^x = y$.
חשב את $\log_2 8$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2^3 = 8$, ולכן המעריך הוא $3$: $\log_2 8 = 3$.
לוגריתמים רגילים וטבעיים
- ישנם שני בסיסים נפוצים מאוד שקיבלו קיצורים.
- הלוגריתם הרגיל $\log$ (ללא בסיס המוצג) בעל בסיס $10$.
- הלוגריתם הטבעי $\ln$ יש בסיס $e \approx 2.718$.
- למחשבי כיס יש שני מקשים לכך; עבור בסיסים אחרים משתמשים בנוסחת שינוי הבסיס.
ה-לוגריתם הטבעי $\ln$ משתמש באילו בסיס?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ה-לוגריתם הטבעי יש בסיס $e$; ה-לוגריתם הרגיל ($\log$ ללא כתיבת בסיס) יש בסיס $10$.
בחרו את כל המשפטים הנכונים לגבי לוגריתמים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הארגומנט של לוגריתם חייב להיות חיובי, ולכן אי אפשר לקחת לוגריתם ממספר שלילי. השלוש האחרות נכונות.
המרת בין צורות
- לכל משוואה מעריכית ישנה התאמה לוגריתמית.
- $b^x = y \iff \log_b y = x$ — אותה עובדה כתובה בשתי דרכים.
- מחדשים את $10^3 = 1000$ ל$\log_{10} 1000 = 3$.
- מעבר בין צורות הוא הטריק המרכזי לפתרון משוואות עם מעריכים לא ידועים.
הארגומנט חייב להיות חיובי
- ניתן לחשב לוגריתם רק ממספר חיובי.
- בסיס חיובי מועלה לכל מעריך נשאר חיובי, ולכן $b^x$ לעולם אינו מגיע ל$0$ או למספר שלילי.
- לכן $\log_b y$ אינו מוגדר עבור $y \le 0$.
- הגבלה זו קובעת את תחום ההגדרה של כל פונקציית לוגריתם.
הארגומנט (הקלט) של לוגריתם חייב להיות ____, כי בסיס חיובי לכל מעריך נשאר חיובי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכיוון ש-$b^x > 0$ תמיד מתקיים, אין כל חזקה שיכולה לייצר אפס או מספר שלילי — ולכן ל-$\log_b y$ נדרש $y > 0$.
$\log_b y$ הוא המעריך, לא מכפלה. $\log_2 8$ הוא $3$ (החזקה), לא $2 \times 8$. ואין לקחת לעולם לוגריתם של $0$ או מספר שלילי — הטיעון חייב להיות חי מוחלט.
פתור $2^x = 16$ באמצעות לוגריתם.
- נסו בלוגריתם: $x = \log_2 16$.
- שאל "$2$ למה חזקה זה $16$?" — מכיוון ש-$2^4 = 16$, התשובה היא $4$.
- אז $x = 4$: הלוגריתם הוציא את המעריך בשבילנו.
לוגריתם הוא מעריך: $\log_b y = x$ אומר $b^x = y$. הלוגריתם העשרוני משתמש בבסיס $10$ ולוגריתם טבעי משתמש בבסיס $e$. כל משפט אקספוננציאלי הופך למשוואת לוגריתם, והארגומנט של לוגריתם חייב להיות תמיד חיובי.