פונקציות הפוכות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | פונקציה הפוכה |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | חד-ל-חד |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | היפוך |
ביטול פעולה של פונקציה
- לכל פונקציה יש פעולה על כניסה; הפונקציה ההפוכה שלה מבטלת אותה.
- הוספת 3, וההופך חוסר 3. הכפל אותה, וההופך מחלק למחצה.
- ההופך מפעיל את המכונה הפוכה, וממיר תוצאות למשתנים.
- פעולת "ביטול" זו היא בדיוק כפי שאנו פותרים משוואות המבוססות על פונקציות.
מה שההופך עושה
- ה-הופך של $f$, שנכתב $f^{-1}$, הופך כל זוג משתן-תוצאה.
- אם $f$ שולחת $2 \to 5$, אזי $f^{-1}$ שולחת $5 \to 2$.
- לכן התחום של $f$ הופך לתחום הערכים של $f^{-1}$, ולהפך.
- השלבה שלהן מבטלת הכל: $f^{-1}(f(x)) = x$.
ההפוך של פונקציה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם $f$ שולח ל$2 \to 5$, אזי $f^{-1}$ שולח ל$5 \to 2$: ההופך מבטל מה שהפונקציה עשתה.
צריך להיות חד-חד-ערכית
- פונקציית הופך קיימת רק אם $f$ היא חד-חד-ערכית.
- חד-חד-ערכית אומר שכל תוצאה נובעת ממשתן אחד בדיוק.
- אם לשני משתנים יש אותה תוצאה, ביצוע הפוך הוא לא ברור — אין הופך יחיד.
- מבחן הקו האופקי בודק זאת: אף קו אופקי לא יכול לחתוך את הגרף פעמיים.
החזירו קו באופן סימטרי ביחס ל-y = x כדי לראות את ההפוך שלו
y = ax + b
קו זה הוא f(x) = 2x + 1. ההפוך שלו מחליף בין x ל-y, ומניב את התמונה המוחזרת ביחס לקו y = x.
לפונקציה יש פונקציית הופך רק אם היא ____ (כל יציאה נובעת מדיוק מכניסה אחת).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם שתי כניסות משותפות להן יציאה, ההופך הוא לא חד-משמעי – ולכן רק פונקציה חד-ערכית ניתן להפוך.
מציאת כלל ההופך
- כתוב $y = f(x)$, ואז החלף בין $x$ ל-$y$.
- כעת פתר את המשוואה החדשה עבור $y$ — הביטוי הזה הוא $f^{-1}(x)$.
- עבור $f(x) = 2x + 1$: החלף ל$x = 2y + 1$, פתר → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- החלפת התפקידים ממירה את המשמעות של משתן ותוצאה, וזה הרעיון כולו.
כדי למצוא את הכלל עבור $f^{-1}$, עליך…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החלפת $x$ ו$y$ הופכת את תפקידי הכניסה והיציאה; פתרון עבור $y$ נותן את הכלל ההופך.
בחר את כל האמיתיות הנכונות לגבי פונקציות הופך.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
לא כל פונקציה הפיכה — תחילה היא חייבת להיות חד-חד-ערכית. השלוש האחרות נכונות.
סימטריה סביב y = x
- החלפת $(a,b)$ ל$(b,a)$ ממירה כל נקודה דרך הקו $y = x$.
- לכן הגרף של $f^{-1}$ הוא הסימטריה של הגרף של $f$ ביחס לקו זה.
- בכל מקום שבו $f$ חותך את ציר ה-y, $f^{-1}$ חותך את ציר ה-x, וכדומה.
- ניתן לאמת פונקציה הפוכה על ידי בדיקת $f(f^{-1}(x)) = x$.
גרף ה$f^{-1}$ הוא השתקפות של גרף ה$f$ לאורך הקו $y = x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החלפת כל $(a,b)$ ל$(b,a)$ ממירה את הגרף כולו באופן סימטרי ביחס ל$y = x$.
הסימון $f^{-1}$ מייצג את פונקצי ההפוך, ולא את המנה ההפוכה $\dfrac{1}{f}$. למרות ה"$-1$", $f^{-1}(x)$ לעולם אינו שווה ל$\dfrac{1}{f(x)}$ — זוהי הפונקציה שמבטלת את פעולת $f$.
מצאו את הפונקציית ההפוך של $f(x) = 3x - 6$.
- כתבו את $y = 3x - 6$, ואז החליפו: $x = 3y - 6$.
- פתרו עבור $y$: $x + 6 = 3y$, ולכן $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- בדקו: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — היא מבטלת את $f$. ✓
פונקציית הפוך $f^{-1}$ הופכת כל זוג כניסה-יציאה, ולכן מבטלת את $f$. היא קיימת רק כאשר $f$ היא חד-ערכית. מוצאים אותה על ידי החלפת $x$ ו-$y$ ופתרון; הגרף שלה הוא הסימטריה של $f$ דרך הקו $y = x$.