הרכבת פונקציות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | הרכבה |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מורכבת |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
פונקציות בשרשרת
- מכניסים מספר לפונקציה אחת, ואז מכניסים את תוצאתה לפונקציה שנייה.
- שתי המכונות עובדות ברצף: תוצאת הראשונה היא הקלט השנייה.
- שרשרת זו נקראת הרכבה, והיא בונה פונקציות מורכבות מפשוטות.
- זוהי הדרך בה אמת "המרה ואז עיגול" או "הנחה ואז מיס" עובדת בפועל.
הפונקציה המורכבת
- הפונקציה המורכבת נכתבת $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
- קוראים אותה מבפנים החוצה: מפעילים תחילה $g$, ואז מפעילים $f$ על התוצאה.
- ההרכבה מעבירה את תוצאת $g$ ישירות ל$f$ כקלט שלה.
- לכן $g$ היא הפונקציה הפנימית ו$f$ היא החיצונית.
לשלוח קלט דרך שתי פונקציות ברצף
לעבור לאורך תהליך העיבוד — התוצאה של g מועברת ישירות ל-f.
בהרכבה $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, איזו פונקציה פועלת תחילה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עבודה מבפנים החוצה: $g$ פועלת על $x$ תחילה, ואז $f$ פועלת על התוצאה $g(x)$.
חישוב ערך של הרכבה
- תמיד עובדים מבפנים החוצה.
- כדי למצוא $f(g(2))$, תחשב תחילה $g(2)$, ואז הצן את המספר שמתקבל לתוך $f$.
- עם $g(x)=x+1$ ו-$f(x)=x^2$: $g(2)=3$, ולאחר מכן $f(3)=9$.
- ניתן גם לשלב את הנוסחות לקבלת כלל אחד לכל השרשרת.
אם $g(x) = x + 1$ ו$f(x) = x^2$, מהי $f(g(2))$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פנימית תחילה: $g(2) = 3$. לאחר מכן חיצונית: $f(3) = 3^2 = 9$.
תחום ההגדרה של הרכבה
- הפונקציה המרוכבת מוגדרת רק במקום שבו השרשרת פועלת באמת.
- הערך $g(x)$ חייב להיות כניסה חוקית ל$f$ — הוא חייב להיכל בתחום ההגדרה של ⟨$f$⟩.
- אם $g$ מייצר מספר שאינו מתקבל על ידי ⟨$f$⟩, אזי ⟨$x$⟩ נשלל.
- לכן, תחום ההגדרה של הפונקציה המרוכבת עשוי להיות קטן יותר מממנו של ⟨$g$⟩ לבדו.
כדי ש-$g(x)$ תהיה ניתנת לשימוש בתוך $f$, הערך $g(x)$ חייב להימצא ב-____ של $f$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ההרכבה מוגדרת רק שם ש-$g(x)$ הוא קלט חוקי עבור $f$ — בתוך התחום של $f$.
בחרו את כל ההצהרות הנכונות לגבי הרכבה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
לרוב הסדר כן משנה — הרכבה אינה קומוטטיבית. השלוש האחרות נכונות.
סדר משנה
- הרכבה אינה בדרך כלל קומוטטיבית: ⟨$f(g(x)) \neq g(f(x))$⟩.
- "להניע גרביים, ואז נעליים" אינו אותו דבר כמו "נעליים, ואז גרביים".
- עם ⟨$f(x)=x^2$⟩ ו-$g(x)=x+1$: ⟨$f(g(x))=(x+1)^2$⟩ אך לא ⟨$g(f(x))=x^2+1$⟩.
- יש לכבד תמיד איזה פונקציה היא פנימית ואיזה חיצונית.
הרכבה היא קומוטטיבית: $f(g(x))$ שווה תמיד ל-$g(f(x))$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסדר חשוב. עבור $f(x)=x^2$ ו$g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ אך $g(f(x))=x^2+1$ — שונה.
אל תבלבל בין ⟨$f(g(x))$⟩ ל-$f(x)\cdot g(x)$. הרכבה מזינה פונקציה אחת לתוך אחרת; זה לא כפל. והיא לעולם לא קומוטטיבית, ולכן החלפת הסדר בדרך כלל משנה את התוצאה.
נתון ⟨$g(x) = \sqrt{x}$⟩ ו-$f(x) = x + 3$. מצא את ⟨$(f \circ g)(x)$⟩ ותחום ההגדרה שלו.
- פנימי תחילה: ⟨$g(x) = \sqrt{x}$⟩, ואז חיצוני: ⟨$f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$⟩.
- השורש הריבועי דורש ⟨$x \ge 0$⟩, לכן תחום ההגדרה הוא ⟨$x \ge 0$⟩.
- למרות ש-$f$ לבדו מקבל את כל המספרים הממשיים, ה-$g$ הפנימי מגביל את המרוכבת.
פונקציה מרוכבת ⟨$(f \circ g)(x) = f(g(x))$⟩ מחברת שתי פונקציות: הפנימית ⟨$g$⟩ פועלת תחילה, ולאחר מכן ⟨$f$⟩. חשב מבפנים החוצה, וזכור שתחום ההגדרה שלה דורש ש-$g(x)$ יהיה כניסה חוקית ל-$f$. הרכבה אינה בדרך כלל קומוטטיבית — הסדר חשוב.