מעורבות ביטויים מעריכיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | כלל המנה |
| base/beɪs/ | בסיס |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | כלל המכפלה |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | כלל החזקה |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | שווה ערך |
הכללים לחיבור חזקות
- ברגע שמשתנה נמצא בחזקה, סט קטן של כללים מאפשר לשנות ערכים.
- להכפיל חזקות, לחלק אותן, להעלות חזקה לחזקה — לכל אחד מהם יש קיצור דרך.
- קיצורי הדרך הללו הופכים ביטויים מפחידים לפשוטים.
- הם גם מאפשרים לך לכתוב מחדש פונקציה אקספוננציאלית בצורה יותר שימושית.
כללי מכפלה ומנה
- בהכפלת חזקות בעלות אותו בסיס מוסיפים את החזקות: כלל מכפלה $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
- בחילוקן מחסרים את החזקות: כלל מנה $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
- הבסיס חייב להיות זהה כדי שאף אחד מהכללים יחול.
- כללים אלו תואמים את האינטואיציה: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$.
כל צעד ימי כופל בבסיס
y = a·bˣ
קראו את ערך ה-y עבור x = 1, 2, 3. כל אחד מהם הוא הבסיס כפול הקודם – והוא הסיבה לכך ש-bˣ⁺¹ = bˣ · b.
כלל המכפלה עבור חזקות קובע ש-$b^m \cdot b^n =$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאשר כופרים חזקות באותו בסיס, מוסיפים את החזקות: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
ה-כלל המנה אומר $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חילוק חזקות בסיס זהה מפחית את המעריכים — הנגד של כלל המכפלה.
כלל החזקה
- להעלות חזקה לחזקה אחרת מכפילים את החזקות: כלל החזקה $(b^m)^n = b^{mn}$.
- כך $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, התאמה ל-$8^2 = 64$.
- כל צעד אחד ימינה על הגרף מכפיל את התוצאה במונע הבסיס.
- כלל אלו יחד מסבירים מדוע פונקציות מעריכיות צומחות כפי שהן עושות.
כלל החזקה קובע ש-$(b^m)^n =$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאשר מרימים חזקה לחזקה, כופרים את החזקות: $(b^m)^n = b^{mn}$.
הזזת המעריך
- הזזה במעריך הופכת למכפיל קבוע: $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$.
- לכן $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$ — הזזת הגרף שמאלה זהה להגדלת קנה מידה שלו.
- חיבור זה מקשר בין טרנספורמציות של פונקציות מעריכיות לבין כללי המעריכים.
- מתיחה אנכית והזזה אופקית יכולות להיות אותה פונקציה מעריכית בהסתברות.
באמצעות $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$, ניתן לכתוב מחדש את $2^{x+3}$ כ-$2^x$ כפול ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8$ — הזזת המעריך הופכת למכפיל קבוע.
שינוי בסיס
- כל פונקציה מעריכית ניתנת לכתיבה מחדש עם בסיס אחר כאשר это מועיל.
- לדוגמה $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ — אותה פונקציה, בסיס $2$ במקום $4$.
- כתיבה מחדש לבסיס משותף מראה ששתי פונקציות מעריכיות שוויוות.
- בחרו את הבסיס שיעשה את ההשוואה או החישוב הקלים ביותר.
בחרו את כל כללי המעריכים הנכונים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
אי אפשר לשלב את $b^m + b^n$ לחזקה אחת — הכללים חלים על הכפלה וחילוק, לא על חיבור. השלושה האחרים נכונים.
הכללים חלים על כפל וחילוק של חזקות, לעולם לא על סכום שלהן. $b^m + b^n$ אינו מת简化 ל-$b^{m+n}$ — זו טעות קלאסית. ניתן לשלב מעריכים רק כאשר החזקות נכפלות או מחולקות.
פשטו $\dfrac{2^{x+3}}{2^x}$.
- כלל המנה: חסרו את המעריכים → $2^{(x+3) - x} = 2^3$.
- לכן הביטוי כולו שווה ל-$2^3 = 8$, קבוע.
- ה-$2^x$ ביטול כי שני האיברים משתפים בבסיס $2$.
חוקי המעריכים מאפשרים לך לסדר מחדש מעריכים של בסיס זהה: חוק המכפלה מחבר מעריכים, חוק המנה מחסר, וחוק המעריך כופל. הזזה $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ הופכת למכפיל, ופישוט לבסיס משותף מראה ששתי ביטויים הם שווים ערך.