פונקציות אקספוננציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| base/beɪs/ | בסיס |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מעריכית |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | צמיחה אקספוננציאלית |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | דעיכת אקספוננציאליות |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אופקית |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | ערך התחלתי |
The base decides everything
- Put the variable up in the exponent and a whole new kind of function appears.
- $2^x$ explodes upward; $0.5^x$ melts toward zero.
- One small number — the base — flips growth into decay.
- These exponential functions model populations, money, medicine, and radioactive decay.
The shape of an exponential
- An exponential function 指数函数 is $f(x) = a\,b^x$, with base $b > 0$ and $b \neq 1$.
- The variable $x$ is the exponent; the base $b$ is fixed.
- The coefficient $a$ is the output when $x = 0$, since $b^0 = 1$.
- This is completely different from $x^2$, where the variable is the base.
לפונקציה אקספוננציאלית יש הצורה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המשתנה יושב במעריך מעל בסיס קבוע $b$ — זה מה שהופך אותה לאקספוננציאלית ולא פולינומית.
Growth versus decay
- If $b > 1$, each step multiplies by more than one: exponential growth 指数增长.
- If $0 < b < 1$, each step multiplies by less than one: exponential decay 指数衰减.
- The base 底数 alone decides which way the curve goes.
- Growth curves sweep upward; decay curves fall toward the axis.
חצה את הבסיס מעבר ל-1 כדי להחליף בין צמיחה לדעיכה
y = a·bˣ
שמור על b מעל 1 לצמיחה; הורד את b מתחת ל-1 לדעיכה. שים לב שהעקומה לעולם אינה נוגעת בציר ה-x — זהו האסימפטוט שלה.
עבור $f(x) = a\,b^x$ עם $a > 0$, הפונקציה מראה דעיכה כאשר…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בסיס בין $0$ ל$1$ מקטין את התוצאה בכל צעד — דעיכה אקספוננציאלית. בסיס מעל $1$ מגדיל אותו.
Domain, range, and asymptote
- The domain is all real numbers — you can raise a base to any power.
- With $a > 0$ the range is $y > 0$: the output is always positive.
- The graph has a horizontal asymptote 水平渐近线 at $y = 0$, which it approaches but never touches.
- On the decay side it flattens toward the axis; on the growth side it soars.
לגרף של $f(x) = a\,b^x$ יש אסימפטוט אופקי ____ ב$y = 0$ שאינו חוצה לעולם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התוצאה מתקרבת באופן שרירותי ל-$0$ אך לעולם אינה מגיעה אליה, מה שמגדיר את האסימפטורה האופקית $y = 0$.
סמן כל האמירות הנכונות לגבי $f(x) = a\,b^x$ (עם $a>0,\ b>1$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
עבור $a > 0$ התוצאה תמיד חיובית, ולכן היא לעולם לא הופכת לשלילית. השלוש האחרות נכונות.
Reading a and b in context
- The coefficient $a$ is the initial value 初始值 — the amount at time zero.
- The base $b$ is the per-step multiplier: $b = 1.08$ means $8\%$ growth each period.
- A base of $0.9$ means losing $10\%$ each period ($b < 1$, decay).
- Reading these two numbers turns the formula into a real-world story.
ב-$P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$, מה מייצג ה-$500$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עבור $t = 0$ ו-$1.08^0 = 1$, מתקיים $P = 500$: המקדם $a$ הוא הערך ההתחלתי, ו-$1.08$ הוא הבסיס (גידול של 8%).
Do not confuse $a\,b^x$ (exponential) with $x^b$ (power). In $2^x$ the variable is in the exponent and growth is explosive; in $x^2$ the variable is the base and growth is merely polynomial. The exponent is what makes it exponential.
A $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Initial value $a = 500$ (the balance at $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, so this is growth of $8\%$ per year.
- After $10$ years: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
An exponential function $f(x) = a\,b^x$ puts the variable in the exponent. The base $b$ decides growth ($b>1$) or decay ($0<b<1$); the domain is all reals, the range is $y>0$, and there is a horizontal asymptote at $y=0$. The coefficient $a$ is the initial value.