פונקציות ליניאריות ואקספוננציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה ליניארית |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מעריכית |
| proportional/prəˈpɔːʃənl/ | פרופורציונלי |
Add versus multiply, again
- Two savings plans: one adds $\$100$ a year, the other grows by $10\%$ a year.
- At first the flat $\$100$ looks better, but the percentage plan quietly pulls ahead.
- These are the two great patterns of change: linear and exponential.
- They are the continuous cousins of arithmetic and geometric sequences.
Arithmetic pairs with linear
- An arithmetic sequence adds a constant; a linear function 线性函数 does the same for every input.
- Over each equal step in $x$, a line adds the same amount to $y$ — its constant slope.
- Plot the arithmetic terms and they land right on a straight line.
- Steady addition is the fingerprint of linear change.
בעברי קלט שווים, פונקציה ליניארית משתנה באמצעות…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקו יש שיפוע קבוע, ולכן צעדים שווים ב$x$ מוסיפים את אותו כמות ל$y$ — כמו סדרה אריתמטית.
Geometric pairs with exponential
- A geometric sequence multiplies by a constant; an exponential function 指数函数 does the same continuously.
- Over each equal step in $x$, an exponential multiplies $y$ by the same factor.
- So the outputs form a geometric sequence: $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- Steady multiplication is the fingerprint of exponential change.
צפה כי פונקציה אקספוננציאלית תעלה על כל קו ישר
y = a·bˣ
הגב את הבסיס b מעל 1 והעקומה תכפיל בכל צעד, ובקרוב תשאיר מאחור כל קו. הגב את b מתחת ל-1 כדי לקבל דעיכה.
בעברי קלט שווים, פונקציה אקספוננציאלית משתנה באמצעות…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פונקציה אקספוננציאלית כופלת באותו גורם בכל צעד שווה — זהו הגרסה הרציפה של סדרה גיאומטרית.
Proportional change
- Exponential growth is proportional 成比例 change: each increase is a percentage of the current amount.
- Grow $10\%$ a year and the yearly gain gets bigger as the total gets bigger.
- Linear growth adds the same absolute amount regardless of the current size.
- "Percentage per period" always signals an exponential, never a line.
שינוי אקספוננציאלי הוא שינוי ____: העלייה היא אחוז קבוע מהערך הנוכחי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שינוי פרופורציונלי משמעותו שכל צעד מתכוון לפי הערך הנוכחי — גדל ב-10% מ-מה שיש לך עכשיו.
אוכלוסייה שהכפילה את עצמה כל שנה מתאימה ביותר לדגם פונקציה אקספוננציאלית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הכפלה היא כפל ב-2 בכל שנה — גורם קבוע במרווחים שווים, המאפיין האופייני לצמיחה אקספוננציאלית.
סמן את כל ההצהרות האמתיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוספת כמויות שוות היא ליניארית, לא אקספוננציאלית. השלושה האחרונים זוגות את הרעיונות בצורה הנכונה.
Spotting which model
- Look at how the data changes over equal steps: constant difference → linear; constant ratio → exponential.
- A table helps: subtract to test for linear, divide to test for exponential.
- Over a long enough range, exponential growth beats any linear function, no matter how steep.
- Match the model to the pattern of change before you fit numbers.
Do not judge by the first few values. Early on a line can sit above an exponential, so a quick glance misleads. Test the pattern of change — same difference or same ratio — not just the current heights.
A pond's lily pads: $10, 20, 40, 80, \dots$ each day.
- Each day the count is multiplied by $2$ — a constant ratio.
- Constant ratio → an exponential function, not a line.
- Rule: pads $= 10 \cdot 2^{\,d}$, doubling without limit until the pond fills.
An arithmetic sequence pairs with a linear function (adds a constant); a geometric sequence pairs with an exponential function (multiplies by a constant). Exponential growth is proportional — a percentage of the current amount — and it eventually overtakes any line.